Considere o espaço vetorial das matrizes complexas 2 times 2 no corpo dos números complexos. A seguir temos a matriz identidade seguida das célebres Matrizes de Pauli.
sigma0=(ll 1 & 0 0 & 1 ), sigma1=(ll 0 & 1 1 & 0 ), sigma2=(cc 0 & -i i & 0 ), sigma3=(cc 1 & 0 0 & -1 )
a) Mostre que elas formam um conjunto Linearmente Independente nesse espaço vetorial.
Sugestão: verifique se a0 sigma0+a1 sigma1+a2 sigma2+a3 sigma3=0 só tem solução trivial para a0, a1, a2, a3 in C.
b) Mostre que elas geram todo o espaço vetorial das matrizes complexas 2 times 2.
Sugestão: verifique se qualquer matriz complexa do tipo llb11 & b12 b21 & b22 pode ser expressa como combinação linear das 4 matrizes: sigma0, sigma1, sigma2 e sigma3.
c) Justifique se elas formam uma Base para esse espaço vetorial

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com o espaço vetorial das matrizes complexas 2 times 2 e analisar um conjunto formado pela matriz identidade sigma0 e as Matrizes de Pauli sigma1, sigma2 e sigma3. A gente precisa verificar três coisas:
a) Se esse conjunto é linearmente independente.
b) Se essas matrizes conseguem gerar todo o espaço vetorial das matrizes 2 times 2.
c) Se, juntando as duas anteriores, elas formam uma base para esse espaço.
Pra resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear, independência linear e geradores de espaço vetorial. Vamos com calma, passo a passo!

Passo 2

Parte a) Mostrando que as matrizes são Linearmente Independentes
Primeiro, para verificar se o conjunto sigma0, sigma1, sigma2, sigma3 é linearmente independente, a gente precisa ver se a única solução para a combinação linear a0 sigma0 + a1 sigma1 + a2 sigma2 + a3 sigma3 = 0 é a0 = a1 = a2 = a3 = 0.
Vamos montar essa combinação:
a0 1 & 0 0 & 1 + a1 0 & 1 1 & 0 + a2 0 & -i i & 0 + a3 1 & 0 0 & -1 = 0 & 0 0 & 0
Isso dá o sistema de equações:
  1. a0 + a3 = 0 (elemento (1,1))
  2. a1 - i a2 = 0 (elemento (1,2))
  3. a1 + i a2 = 0 (elemento (2,1))
  4. a0 - a3 = 0 (elemento (2,2))
Resolvendo o sistema:
  • Da equação 1 e 4, temos a0 + a3 = 0 e a0 - a3 = 0. Somando, 2a0 = 0 Rightarrow a0 = 0. Substituindo, a3 = 0.
  • Das equações 2 e 3, temos a1 - i a2 = 0 e a1 + i a2 = 0. Somando, 2a1 = 0 Rightarrow a1 = 0. Substituindo, a2 = 0.
Como a única solução é o trivial ( a0 = a1 = a2 = a3 = 0), as matrizes são linearmente independentes.

Passo 3

Parte b) Mostrando que as matrizes geram todo o espaço vetorial das matrizes 2 times 2
Agora, a gente quer mostrar que qualquer matriz complexa 2 times 2 pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes sigma0, sigma1, sigma2, sigma3.
Vamos considerar uma matriz genérica:
b = b11 & b12 b21 & b22
Queremos encontrar coeficientes a0, a1, a2, a3 tais que:
a0 sigma0 + a1 sigma1 + a2 sigma2 + a3 sigma3 = b
Substituindo as matrizes:
a0 1 & 0 0 & 1 + a1 0 & 1 1 & 0 + a2 0 & -i i & 0 + a3 1 & 0 0 & -1 = b11 & b12 b21 & b22
Isso resulta no sistema:
  1. a0 + a3 = b11 (elemento (1,1))
  2. a1 - i a2 = b12 (elemento (1,2))
  3. a1 + i a2 = b21 (elemento (2,1))
  4. a0 - a3 = b22 (elemento (2,2))
Resolvendo:
  • Da equação 1 e 4:
    • Somando: 2a0 = b11 + b22 Rightarrow a0 = b11 + b222
    • Subtraindo: 2a3 = b11 - b22 Rightarrow a3 = b11 - b222
  • Das equações 2 e 3:
    • Somando: 2a1 = b12 + b21 Rightarrow a1 = b12 + b212
    • Subtraindo: -2i a2 = b12 - b21 Rightarrow a2 = i(b21 - b12)2
Assim, qualquer matriz b pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes sigma0, sigma1, sigma2, sigma3, o que significa que elas geram todo o espaço vetorial.

Passo 4

Parte c) Justificando que elas formam uma Base para o espaço vetorial
Agora que a gente mostrou que:
a) As matrizes são linearmente independentes.
b) Elas geram todo o espaço vetorial das matrizes 2 times 2.
Então, pela definição de base, um conjunto que é linearmente independente e gera o espaço é uma base desse espaço. Portanto, o conjunto sigma0, sigma1, sigma2, sigma3 forma uma base para o espaço vetorial das matrizes complexas 2 times 2.

Resposta

As matrizes sigma0, sigma1, sigma2, sigma3 formam uma base para o espaço vetorial das matrizes complexas 2 times 2, pois são linearmente independentes e geram todo o espaço.

Exercícios relacionados