Considere o espaço vetorial das matrizes complexas
no corpo dos números complexos. A seguir temos a matriz identidade seguida das célebres Matrizes de Pauli.
a) Mostre que elas formam um conjunto Linearmente Independente nesse espaço vetorial.
Sugestão: verifique se
só tem solução trivial para
.
b) Mostre que elas geram todo o espaço vetorial das matrizes complexas
.
Sugestão: verifique se qualquer matriz complexa do tipo
pode ser expressa como combinação linear das 4 matrizes:
e
.
c) Justifique se elas formam uma Base para esse espaço vetorial
Sugestão: verifique se
b) Mostre que elas geram todo o espaço vetorial das matrizes complexas
c) Justifique se elas formam uma Base para esse espaço vetorial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com o espaço vetorial das matrizes complexas
e analisar um conjunto formado pela matriz identidade
e as Matrizes de Pauli
,
e
. A gente precisa verificar três coisas:
a) Se esse conjunto é linearmente independente.
b) Se essas matrizes conseguem gerar todo o espaço vetorial das matrizes
.
c) Se, juntando as duas anteriores, elas formam uma base para esse espaço.
Pra resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear, independência linear e geradores de espaço vetorial. Vamos com calma, passo a passo!
Passo 2
Parte a) Mostrando que as matrizes são Linearmente Independentes
Primeiro, para verificar se o conjunto
é linearmente independente, a gente precisa ver se a única solução para a combinação linear
é
.
Vamos montar essa combinação:
Isso dá o sistema de equações:
-
(elemento (1,1)) -
(elemento (1,2)) -
(elemento (2,1)) -
(elemento (2,2))
Resolvendo o sistema:
-
Da equação 1 e 4, temos
e . Somando, . Substituindo, . -
Das equações 2 e 3, temos
e . Somando, . Substituindo, .
Como a única solução é o trivial (
), as matrizes são linearmente independentes.
Passo 3
Parte b) Mostrando que as matrizes geram todo o espaço vetorial das matrizes
Agora, a gente quer mostrar que qualquer matriz complexa
pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes
.
Vamos considerar uma matriz genérica:
Queremos encontrar coeficientes
tais que:
Substituindo as matrizes:
Isso resulta no sistema:
-
(elemento (1,1)) -
(elemento (1,2)) -
(elemento (2,1)) -
(elemento (2,2))
Resolvendo:
-
Da equação 1 e 4:
-
Somando:
-
Subtraindo:
-
-
Das equações 2 e 3:
-
Somando:
-
Subtraindo:
-
Assim, qualquer matriz
pode ser escrita como uma combinação linear das matrizes
, o que significa que elas geram todo o espaço vetorial.
Passo 4
Parte c) Justificando que elas formam uma Base para o espaço vetorial
Agora que a gente mostrou que:
a) As matrizes são linearmente independentes.
b) Elas geram todo o espaço vetorial das matrizes
.
Então, pela definição de base, um conjunto que é linearmente independente e gera o espaço é uma base desse espaço. Portanto, o conjunto
forma uma base para o espaço vetorial das matrizes complexas
.
Resposta
As matrizes
formam uma base para o espaço vetorial das matrizes complexas
, pois são linearmente independentes e geram todo o espaço.