Um carro se move a
em uma estrada plana no sentido positivo de um eixo
. Os pneus têm um diâmetro de 66 cm . Em relação a uma mulher que viaja no carro e na notação dos vetores unitários, determine a velocidade
no alto de cada pneu.
Passo 1
Resumo do enunciado:
Um carro viaja a 80,0 km/h ao longo do eixo x (positivo). Os pneus têm diâmetro de 66 cm. A gente quer a velocidade vetorial, na notação de vetores unitários, do ponto mais alto de cada pneu, visto por quem está no carro.
Conteúdo da matéria:
· Cinemática de rotação e translação (rolamento sem deslizamento)
· Relação entre velocidade de translação do centro, velocidade angular e velocidade de um ponto da roda
· Produto vetorial (ω × r) para achar a velocidade de rotação
O que precisamos:
Um carro viaja a 80,0 km/h ao longo do eixo x (positivo). Os pneus têm diâmetro de 66 cm. A gente quer a velocidade vetorial, na notação de vetores unitários, do ponto mais alto de cada pneu, visto por quem está no carro.
Conteúdo da matéria:
· Cinemática de rotação e translação (rolamento sem deslizamento)
· Relação entre velocidade de translação do centro, velocidade angular e velocidade de um ponto da roda
· Produto vetorial (ω × r) para achar a velocidade de rotação
O que precisamos:
- Converter unidades (km/h → m/s, cm → m)
- Calcular o raio R
- Usar v_cm = R·ω para achar ω
- Fazer ω × (vetor posição do ponto)
- Somar v_translação + v_rotação
Passo 2
Converter unidades e achar o raio:
80,0 km/h = (80 000 m)/(3 600 s) = 22,22 m/s
Diâmetro = 66 cm ⇒ raio R = 33 cm = 0,33 m
80,0 km/h = (80 000 m)/(3 600 s) = 22,22 m/s
Diâmetro = 66 cm ⇒ raio R = 33 cm = 0,33 m
Passo 3
Como o pneu rola sem deslizamento:
v_cm = R·ω ⟹ ω = v_cm / R
ω = 22,22 m/s ÷ 0,33 m ≃ 67,27 s⁻¹
v_cm = R·ω ⟹ ω = v_cm / R
ω = 22,22 m/s ÷ 0,33 m ≃ 67,27 s⁻¹
Passo 4
Definindo eixos:
î → frente do carro (eixo x),
ĵ → para cima (eixo y),
k̂ → sai da estrada (eixo z).
Para rolar para +x, a roda gira em sentido negativo de k̂:
ω→ = –(v_cm/R) k̂ = –67,27 k̂ (rad/s)
î → frente do carro (eixo x),
ĵ → para cima (eixo y),
k̂ → sai da estrada (eixo z).
Para rolar para +x, a roda gira em sentido negativo de k̂:
ω→ = –(v_cm/R) k̂ = –67,27 k̂ (rad/s)
Passo 5
Posição do ponto mais alto em relação ao centro:
r→ = R·ĵ = 0,33 ĵ (m)
Velocidade de rotação no topo:
v_rot = ω→ × r→
= [–(v_cm/R) k̂] × [R ĵ]
= –v_cm · (k̂ × ĵ)
Como k̂×ĵ = –î,
v_rot = –v_cm · (–î) = +v_cm î = 22,22 î (m/s)
r→ = R·ĵ = 0,33 ĵ (m)
Velocidade de rotação no topo:
v_rot = ω→ × r→
= [–(v_cm/R) k̂] × [R ĵ]
= –v_cm · (k̂ × ĵ)
Como k̂×ĵ = –î,
v_rot = –v_cm · (–î) = +v_cm î = 22,22 î (m/s)
Agora soma com a translação do centro (22,22 î):
v_topo = v_trans + v_rot = 22,22 î + 22,22 î = 44,44 î (m/s)
v_topo = v_trans + v_rot = 22,22 î + 22,22 î = 44,44 î (m/s)
Resposta
A velocidade vetorial do ponto mais alto do pneu é
.