No espaço vetorial 
  considere os seguintes subespaços:
 
Encontre bases para: 
  e 
  (obs: 
  é a derivada de 
  ).
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear que envolve espaços vetoriais de polinômios. O problema nos dá dois subespaços 
  e 
  dentro do espaço dos polinômios de grau até 2, 
 . Precisamos encontrar bases para 
 , 
  e para a interseção desses dois subespaços, 
 .
Passo 2
Vamos começar entendendo o que são 
  e 
 :
- 
: Isso significa que é o conjunto de polinômios cuja derivada é zero. Derivada zero indica que o polinômio é constante, porque a inclinação não muda.  - 
: Aqui, é o conjunto de polinômios que anulam em e .  
Vamos encontrar uma base para cada um desses subespaços.
Passo 3
Base para 
 :
Como 
  consiste em polinômios constantes, todo polinômio em 
  pode ser escrito como 
 , onde 
  é uma constante.
Portanto, uma base para 
  é simplesmente o polinômio constante 1:
Passo 4
Base para 
 :
Agora, vamos encontrar os polinômios em 
  que satisfazem 
  e 
 .
Um polinômio geral em 
  tem a forma:
Aplicando as condições:
Da segunda condição, temos 
 . Então, o polinômio fica:
Isso mostra que todo polinômio em 
  é um múltiplo de 
 .
Portanto, uma base para 
  é:
Passo 5
Base para 
 :
A interseção 
  consiste nos polinômios que são constantes (de 
 ) e que também satisfazem 
  (de 
 ).
Seja 
  em 
 . Para estar em 
 , precisamos que:
Então, a única constante que satisfaz isso é 
 .
Portanto, 
 , onde 
  é o polinômio nulo.
A base para o subespaço nulo é o conjunto vazio, mas para fins práticos, podemos dizer que não há vetores não nulos na base.
Resposta
- Base de 
:  - Base de 
:  - Base de 
: