Sejam 
  e 
  
 .
(a) Mostre que 
  e 
  são subespaços de 
 .
(a) Mostre que
Passo 1
No problema, temos três conjuntos 
 , 
  e 
  no espaço tridimensional 
 . Precisamos mostrar que esses conjuntos são subespaços vetoriais de 
 . Para isso, vamos usar os seguintes critérios que definem um subespaço:
- Contém o vetor zero: O conjunto deve incluir o vetor 
.  - Fechado pela adição: A soma de quaisquer dois vetores do conjunto também deve pertencer ao conjunto.
 - Fechado pela multiplicação por escalar: Qualquer vetor do conjunto, multiplicado por um número real (escalar), também deve estar no conjunto.
 
Vamos verificar esses critérios para cada um dos conjuntos 
 , 
  e 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o conjunto 
 .
- 
Vetor zero: O vetor
claramente satisfaz , pois . Então, .  - 
Fechamento pela adição: Se você pegar dois vetores quaisquer em
, digamos e , onde e , a soma deles será . Como , a soma também satisfaz , ou seja, pertence a .  - 
Fechamento pela multiplicação por escalar: Se multiplicarmos um vetor
em por um escalar , teremos . Como , , e o vetor resultante ainda satisfaz , permanecendo em .  
Assim, 
  é um subespaço de 
 .
Passo 3
Agora, vamos verificar o conjunto 
 .
- 
Vetor zero: O vetor
satisfaz e , então está em .  - 
Fechamento pela adição: Tomemos dois vetores em
, como e . A soma deles é , que também está em porque .  - 
Fechamento pela multiplicação por escalar: Multiplicando um vetor
por um escalar , obtemos . Este vetor ainda tem , então pertence a .  
Portanto, 
  é também um subespaço de 
 .
Passo 4
Por último, vamos analisar o conjunto 
 .
- 
Vetor zero: O vetor
obviamente satisfaz , então está em .  - 
Fechamento pela adição: Pegue dois vetores em
, digamos e , onde e . A soma deles é . Calculando a soma das coordenadas: . Então, a soma está em .  - 
Fechamento pela multiplicação por escalar: Multiplicando um vetor
em por um escalar , obtemos . A soma das coordenadas é , então o vetor resultante também está em .  
Logo, 
  é um subespaço de 
 .
Resposta
Os conjuntos 
 , 
  e 
  são subespaços de 
 .