Um espaço vetorial pode ter dimensão infinita? Dê um exemplo e explique.
Passo 1
O enunciado pergunta se um espaço vetorial pode ter dimensão infinita e pede um exemplo com explicação.
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
- Queremos saber se existe espaço vetorial cuja dimensão não seja um número natural finito.
- Deve-se dar um exemplo concreto e explicar por que a dimensão é infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar com calma o que significa “dimensão” de um espaço vetorial — isso é essencial para responder direitinho na prova.
Definições importantes (explicadas de forma simples):
- Um conjunto
de vetores em um espaço vetorial é gerador (ou gera ) se todo vetor de pode ser escrito como combinação linear de elementos de . “Combinação linear” significa soma de escalares multiplicando vetores de . - Um conjunto
de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear finita não-trivial deles dá o vetor zero; ou seja, se com e escalares , então todos os devem ser zero. - Uma base de
é um conjunto que é ao mesmo tempo linearmente independente e gerador de . - A dimensão de
é o número de vetores em uma base de . Se existe uma base finita com vetores, diz-se que . Se não existe nenhuma base finita (todas as bases têm infinitos elementos), diz-se que tem dimensão infinita.
Observação prática: para mostrar que
tem dimensão infinita, basta exibir um conjunto infinito de vetores linearmente independente em
— isso impede que exista uma base finita.
Passo 3
Vamos escolher um exemplo simples, clássico e fácil de trabalhar na prova: o espaço dos polinômios com coeficientes reais, que denotamos por
. Os vetores aqui são polinômios como
,
,
, etc. A soma e a multiplicação por escalar são as operações usuais entre polinômios.
Mostrarei que
tem dimensão infinita apresentando uma família infinita de vetores (polinômios) que são linearmente independentes e que, de fato, geram o espaço.
Passo 4
Considere a sequência de polinômios
Primeiro passo: provar que esses polinômios são linearmente independentes.
Demonstração de independência linear (passo a passo, sem pular):
- Suponha que uma combinação linear finita deles seja zero:
onde e é algum inteiro não negativo. - A igualdade acima é uma igualdade de polinômios, isto é, a função polinomial do lado esquerdo é a função identicamente zero para todo
. - Um fato básico sobre polinômios: se um polinômio é identicamente zero, então todos os seus coeficientes são zero. Uma maneira intuitiva de ver isso é olhar o termo de maior grau: suponha que o maior
tal que exista; então o polinômio tem termo que não é cancelado por termos de grau menor, logo não pode ser o polinômio zero. Isso contradiz a hipótese. Portanto não existe tal e todos os devem ser zero. - Conclusão:
. Logo os polinômios são linearmente independentes.
Passo 5
Agora mostramos que esses mesmos polinômios geram
.
Prova de geração (explicação prática):
- Um polinômio arbitrário
tem grau finito, digamos . Então se escreve com coeficientes . - Isso mostra explicitamente que
é combinação linear dos primeiros monômios . - Portanto a família
gera todo .
Passo 6
Como
é um conjunto infinito que é ao mesmo tempo linearmente independente e gerador de
, ele é uma base infinita de
. Logo
não admite uma base finita, isto é, sua dimensão é infinita (mais precisamente, contável infinita).
Alternativa de prova (útil na prova): suponha, por absurdo, que exista uma base finita formada por polinômios
. Seja
o maior grau entre esses polinômios. Qualquer combinação linear deles terá grau no máximo
. Assim não seria possível representar o polinômio
como combinação linear dos
, contradizendo que eles geram o espaço. Logo não existe base finita.
Passo 7
Outros exemplos e comentários rápidos (para você ficar seguro na prova):
- O espaço de todas as sequências reais
(vetores são sequências ) também tem dimensão infinita. Há muitos espaços naturais infinito-dimensionais na análise e em aplicações. - Em contraste, espaços como
têm dimensão finita ; em geral, um espaço vetorial é finito-dimensional exatamente quando é isomorfo a para algum . - Dica de prova rápida na prova: para mostrar infinito, apresentar um conjunto infinito linearmente independente (como os monômios). Ou provar que nenhum conjunto finito gera (argumento dos graus no caso de polinômios).
Passo 8
Resumo final para gravar na cabeça e usar na prova:
- Sim, um espaço vetorial pode ter dimensão infinita.
- Exemplo concreto e simples:
(o espaço de todos os polinômios em uma variável com coeficientes reais) tem base , logo é infinita.
Resposta
Sim. Por exemplo, o espaço
dos polinômios tem dimensão infinita porque
é uma base infinita (os monômios são linearmente independentes e geram
).