Um espaço vetorial pode ter dimensão infinita? Dê um exemplo e explique.

Passo 1

O enunciado pergunta se um espaço vetorial pode ter dimensão infinita e pede um exemplo com explicação.
Informações dadas (explícitas ou implícitas):
  • Queremos saber se existe espaço vetorial cuja dimensão não seja um número natural finito.
  • Deve-se dar um exemplo concreto e explicar por que a dimensão é infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar com calma o que significa “dimensão” de um espaço vetorial — isso é essencial para responder direitinho na prova.
Definições importantes (explicadas de forma simples):
  • Um conjunto B de vetores em um espaço vetorial V é gerador (ou gera V) se todo vetor de V pode ser escrito como combinação linear de elementos de B. “Combinação linear” significa soma de escalares multiplicando vetores de B.
  • Um conjunto L de vetores é linearmente independente se nenhuma combinação linear finita não-trivial deles dá o vetor zero; ou seja, se a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_n v_n = 0com v_i\in L e escalares a_i, então todos os a_i devem ser zero.
  • Uma base de V é um conjunto que é ao mesmo tempo linearmente independente e gerador de V.
  • A dimensão de V é o número de vetores em uma base de V. Se existe uma base finita com n vetores, diz-se que \dim V = n. Se não existe nenhuma base finita (todas as bases têm infinitos elementos), diz-se que V tem dimensão infinita.
Observação prática: para mostrar que V tem dimensão infinita, basta exibir um conjunto infinito de vetores linearmente independente em V — isso impede que exista uma base finita.

Passo 3

Vamos escolher um exemplo simples, clássico e fácil de trabalhar na prova: o espaço dos polinômios com coeficientes reais, que denotamos por \mathbb{R}[x]. Os vetores aqui são polinômios como 1, x, x^2+3x, etc. A soma e a multiplicação por escalar são as operações usuais entre polinômios.
Mostrarei que \mathbb{R}[x] tem dimensão infinita apresentando uma família infinita de vetores (polinômios) que são linearmente independentes e que, de fato, geram o espaço.

Passo 4

Considere a sequência de polinômios
\{1, x, x^2, x^3, \dots\}.
Primeiro passo: provar que esses polinômios são linearmente independentes.
Demonstração de independência linear (passo a passo, sem pular):
  • Suponha que uma combinação linear finita deles seja zero: a_0\cdot 1 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n = 0,onde a_0,\dots,a_n\in\mathbb{R} e n é algum inteiro não negativo.
  • A igualdade acima é uma igualdade de polinômios, isto é, a função polinomial do lado esquerdo é a função identicamente zero para todo x\in\mathbb{R}.
  • Um fato básico sobre polinômios: se um polinômio é identicamente zero, então todos os seus coeficientes são zero. Uma maneira intuitiva de ver isso é olhar o termo de maior grau: suponha que o maior k tal que a_k\neq 0 exista; então o polinômio tem termo a_k x^k que não é cancelado por termos de grau menor, logo não pode ser o polinômio zero. Isso contradiz a hipótese. Portanto não existe tal k e todos os a_i devem ser zero.
  • Conclusão: a_0=\cdots=a_n=0. Logo os polinômios 1,x,x^2,\dots são linearmente independentes.

Passo 5

Agora mostramos que esses mesmos polinômios geram \mathbb{R}[x].
Prova de geração (explicação prática):
  • Um polinômio arbitrário p(x)\in\mathbb{R}[x] tem grau finito, digamos \deg p = m. Então se escreve p(x)=b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + \cdots + b_m x^m,com coeficientes b_0,\dots,b_m\in\mathbb{R}.
  • Isso mostra explicitamente que p(x) é combinação linear dos primeiros m+1 monômios 1,x,\dots,x^m.
  • Portanto a família \{1,x,x^2,\dots\} gera todo \mathbb{R}[x].

Passo 6

Como \{1,x,x^2,\dots\} é um conjunto infinito que é ao mesmo tempo linearmente independente e gerador de \mathbb{R}[x], ele é uma base infinita de \mathbb{R}[x]. Logo \mathbb{R}[x] não admite uma base finita, isto é, sua dimensão é infinita (mais precisamente, contável infinita).
Alternativa de prova (útil na prova): suponha, por absurdo, que exista uma base finita formada por polinômios p_1,\dots,p_n. Seja d o maior grau entre esses polinômios. Qualquer combinação linear deles terá grau no máximo d. Assim não seria possível representar o polinômio x^{d+1} como combinação linear dos p_i, contradizendo que eles geram o espaço. Logo não existe base finita.

Passo 7

Outros exemplos e comentários rápidos (para você ficar seguro na prova):
  • O espaço de todas as sequências reais \mathbb{R}^{\mathbb{N}} (vetores são sequências (a_1,a_2,\dots)) também tem dimensão infinita. Há muitos espaços naturais infinito-dimensionais na análise e em aplicações.
  • Em contraste, espaços como \mathbb{R}^n têm dimensão finita n; em geral, um espaço vetorial é finito-dimensional exatamente quando é isomorfo a \mathbb{R}^n para algum n.
  • Dica de prova rápida na prova: para mostrar infinito, apresentar um conjunto infinito linearmente independente (como os monômios). Ou provar que nenhum conjunto finito gera (argumento dos graus no caso de polinômios).

Passo 8

Resumo final para gravar na cabeça e usar na prova:
  • Sim, um espaço vetorial pode ter dimensão infinita.
  • Exemplo concreto e simples: \mathbb{R}[x] (o espaço de todos os polinômios em uma variável com coeficientes reais) tem base \{1,x,x^2,\dots\}, logo \dim \mathbb{R}[x] é infinita.

Resposta

Sim. Por exemplo, o espaço \mathbb{R}[x] dos polinômios tem dimensão infinita porque \{1,x,x^2,\dots\} é uma base infinita (os monômios são linearmente independentes e geram \mathbb{R}[x]).

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