Seja V um espaço vetorial de dimensão 3 . Um conjunto com dois vetores linearmente independentes pode ser base de V ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz uma pergunta clara:
  • Dado: V é um espaço vetorial com \dim(V)=3.
  • Dado: existe um conjunto S com dois vetores que são linearmente independentes.
  • Pergunta: Esse conjunto com dois vetores linearmente independentes pode ser uma base de V? Justifique.

Passo 2

Lembretes essenciais (definições que vamos usar, explicadas devagarinho):
  • Um conjunto B é base de V se e somente se duas coisas acontecem ao mesmo tempo:
    1. B é linearmente independente.
    2. B gera (ou seja, “espalha” por) todo V: \operatorname{span}(B)=V.
  • “Linearmente independente” significa: se para escalares a_1,\dots,a_k e vetores v_1,\dots,v_k do conjunto valem
    a_1 v_1 + \cdots + a_k v_k = 0,
    então necessariamente a_1=\cdots=a_k=0. Ou seja, nenhum vetor do conjunto é combinação linear dos outros.
  • "Gerar V" (ou “span”) quer dizer: todo vetor w\in V pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto.
Guarde: para ser base precisa das duas propriedades juntas.

Passo 3

Fato-chave sobre dimensão (explicado passo a passo):
  • Para um espaço vetorial de dimensão finita, todas as bases têm o mesmo número de vetores; esse número é justamente a dimensão. Então, se \dim(V)=3, qualquer base de V contém exatamente 3 vetores.
Explicação do porquê desse fato (intuição e um esboço de prova simples):
  • Se B é uma base com n vetores, então n=\dim(V) por definição.
  • Se S é um conjunto linearmente independente com m vetores, pode-se sempre estender S a uma base de V (se S não gera V, acrescenta-se vetores fora do span de S até gerar). Esse processo termina porque não se pode ter uma cadeia infinita de vetores linearmente independentes numa dimensão finita.
  • Assim, necessariamente m\le n. Em palavras: qualquer conjunto linearmente independente tem no máximo \dim(V) vetores.
  • Simetricamente, qualquer conjunto que gera V tem pelo menos \dim(V) vetores.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso concreto:
  • Aqui \dim(V)=3. Logo toda base de V tem exatamente 3 vetores.
  • O conjunto dado tem apenas 2 vetores e, embora sejam linearmente independentes, tem cardinalidade 2, que é menor que 3.
  • Pelo fato do passo anterior, um conjunto linearmente independente com 2 vetores não pode ser uma base de um espaço de dimensão 3, porque faltaria pelo menos mais um vetor para alcançar a cardinalidade necessária e, mais importante, para gerar todo o espaço.

Passo 5

Outra explicação, talvez mais direta e intuitiva:
  • O espaço gerado por dois vetores linearmente independentes tem dimensão 2 (é um plano dentro de V). Em um espaço de dimensão 3, um plano não pode ser todo o espaço: sempre existe algum vetor fora desse plano.
  • Portanto dois vetores, mesmo sendo independentes, não conseguem gerar todos os vetores de V. Logo não formam base (pois falta a propriedade "gera V").

Passo 6

Exemplo concreto para fixar a ideia (use isso na prova se quiser ilustrar):
  • Em \mathbb{R}^3, tome v_1=(1,0,0) e v_2=(0,1,0). Eles são linearmente independentes.
  • O span desses dois é o plano \{(x,y,0)\mid x,y\in\mathbb{R}\}, que não contém, por exemplo, (0,0,1).
  • Para ver que (0,0,1) não está no span: se existissem a,b tais que a(1,0,0)+b(0,1,0)=(0,0,1), então teríamos (a,b,0)=(0,0,1), impossível.
  • Conclusão: v_1,v_2 não geram \mathbb{R}^3 e portanto não são base.

Passo 7

Observação prática para a prova (frase curta e pronta para usar):
  • Para responder rápido numa prova: diga que não, porque em um espaço de dimensão 3 qualquer base tem 3 vetores; um conjunto com apenas 2 vetores não pode gerar todo o espaço (no máximo gera um subespaço de dimensão 2). Se quiser, acrescente um exemplo em \mathbb{R}^3 para ilustrar.

Resposta

Não. Uma base de V tem exatamente 3 vetores (pois \dim(V)=3); um conjunto com apenas 2 vetores, embora possa ser linearmente independente, não gera todo V e portanto não pode ser base.

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