Seja
um espaço vetorial de dimensão 3 . Um conjunto com dois vetores linearmente independentes pode ser base de
? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz uma pergunta clara:
- Dado:
é um espaço vetorial com . - Dado: existe um conjunto
com dois vetores que são linearmente independentes. - Pergunta: Esse conjunto com dois vetores linearmente independentes pode ser uma base de
? Justifique.
Passo 2
Lembretes essenciais (definições que vamos usar, explicadas devagarinho):
-
Um conjunto
é base de se e somente se duas coisas acontecem ao mesmo tempo: -
é linearmente independente. -
gera (ou seja, “espalha” por) todo : .
-
-
“Linearmente independente” significa: se para escalares
e vetores do conjunto valem então necessariamente. Ou seja, nenhum vetor do conjunto é combinação linear dos outros. -
"Gerar
" (ou “span”) quer dizer: todo vetor pode ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto.
Guarde: para ser base precisa das duas propriedades juntas.
Passo 3
Fato-chave sobre dimensão (explicado passo a passo):
- Para um espaço vetorial de dimensão finita, todas as bases têm o mesmo número de vetores; esse número é justamente a dimensão. Então, se
, qualquer base de contém exatamente 3 vetores.
Explicação do porquê desse fato (intuição e um esboço de prova simples):
- Se
é uma base com vetores, então por definição. - Se
é um conjunto linearmente independente com vetores, pode-se sempre estender a uma base de (se não gera , acrescenta-se vetores fora do span de até gerar). Esse processo termina porque não se pode ter uma cadeia infinita de vetores linearmente independentes numa dimensão finita. - Assim, necessariamente
. Em palavras: qualquer conjunto linearmente independente tem no máximo vetores. - Simetricamente, qualquer conjunto que gera
tem pelo menos vetores.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso concreto:
- Aqui
. Logo toda base de tem exatamente 3 vetores. - O conjunto dado tem apenas 2 vetores e, embora sejam linearmente independentes, tem cardinalidade
, que é menor que . - Pelo fato do passo anterior, um conjunto linearmente independente com
vetores não pode ser uma base de um espaço de dimensão , porque faltaria pelo menos mais um vetor para alcançar a cardinalidade necessária e, mais importante, para gerar todo o espaço.
Passo 5
Outra explicação, talvez mais direta e intuitiva:
- O espaço gerado por dois vetores linearmente independentes tem dimensão
(é um plano dentro de ). Em um espaço de dimensão , um plano não pode ser todo o espaço: sempre existe algum vetor fora desse plano. - Portanto dois vetores, mesmo sendo independentes, não conseguem gerar todos os vetores de
. Logo não formam base (pois falta a propriedade "gera ").
Passo 6
Exemplo concreto para fixar a ideia (use isso na prova se quiser ilustrar):
- Em
, tome e . Eles são linearmente independentes. - O span desses dois é o plano
, que não contém, por exemplo, . - Para ver que
não está no span: se existissem tais que , então teríamos , impossível. - Conclusão:
não geram e portanto não são base.
Passo 7
Observação prática para a prova (frase curta e pronta para usar):
- Para responder rápido numa prova: diga que não, porque em um espaço de dimensão
qualquer base tem vetores; um conjunto com apenas vetores não pode gerar todo o espaço (no máximo gera um subespaço de dimensão ). Se quiser, acrescente um exemplo em para ilustrar.
Resposta
Não. Uma base de
tem exatamente
vetores (pois
); um conjunto com apenas
vetores, embora possa ser linearmente independente, não gera todo
e portanto não pode ser base.