No espaço vetorial do 
 , consideremos a seguinte base: 
 . Determinar o vetor coordenada de 
  em relação à base B sendo:
(a) 
 .
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as coordenadas do vetor 
  em relação à base 
 . Isso está dentro do conteúdo de álgebra linear, especificamente trabalhando com mudança de base e coordenadas de vetores. Para resolver, vamos precisar saber como expressar um vetor como combinação linear dos vetores da base.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar as coordenadas de 
  em relação a 
 . Basicamente, queremos encontrar dois números, digamos 
  e 
 , tais que:
Isso significa que 
  pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base 
 .
Passo 3
Vamos substituir os vetores na equação:
Agora, distribuímos os escalares 
  e 
  nos vetores:
Passo 4
Agora, somamos as componentes correspondentes:
Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema. Podemos, por exemplo, multiplicar a primeira equação por 4 para facilitar a eliminação:
Agora, somamos as duas equações para eliminar 
 :
Dividindo tudo por 4:
Passo 6
Vamos voltar à primeira equação original para encontrar 
  em termos de 
 :
Substituímos 
  na equação 
 :
Passo 7
Agora que temos 
 , vamos encontrar 
  usando 
 :
Resposta
As coordenadas do vetor 
  em relação à base 
  são: