(Espcex (Aman)) Sabendo que
e
, temos que o valor de
é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado nos dá as igualdades
,
e
. O que ele pede é calcular o valor de
Informações relevantes dadas:
- Sabemos os valores simbólicos dos logaritmos de
: , , . - A expressão alvo envolve produto, potência e raiz quadrada de
.
A pergunta direta: qual é o valor deem função de ?
Passo 2
Vamos lembrar e entender as propriedades dos logaritmos que vamos usar. Primeiro, a propriedade do produto:
O que isso diz, com palavras simples: o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos dos fatores. Exemplo numérico (só para intuição):
.
Passo 3
Outra regra essencial é a da potência:
Isto significa que quando um número está elevado a uma potência, o logaritmo “desce” como multiplicador. Exemplo:
.
Passo 4
Também usaremos a propriedade do quociente:
Ou seja, o logaritmo de uma divisão é a diferença dos logaritmos.
Passo 5
Transformar a raiz quadrada em potência fracionária facilita usar as propriedades:
. Portanto a expressão dentro do log fica
Passo 6
Agora aplicamos a propriedade do logaritmo do quociente:
Aqui usamos
.
Passo 7
Em seguida aplicamos a propriedade do produto no primeiro termo:
Então substituindo:
Passo 8
Agora usamos a regra da potência nos termos
e
:
Passo 9
Substituindo
,
e
nas expressões, obtemos
Resposta
c)