(Espcex (Aman)) Sabendo que \log (a)=A, \log (b)=B e \log \text{(c)}=C, temos que o valor de \log \left(\frac{a^{2} \cdot b}{\sqrt{c}}\right) é igual a:
a) -2 A+B+\frac{C}{2}
b) -2 A-B+\frac{c}{2}
c) 2 A+B-\frac{c}{2}
d) 2 A-B-\frac{c}{2}
e) 2 A-B+\frac{c}{2}

Passo 1

O enunciado nos dá as igualdades \log(a)=A, \log(b)=B e \log\text{(c)}=C. O que ele pede é calcular o valor de
\log\!\left(\frac{a^{2}\cdot b}{\sqrt{c}}\right).
Informações relevantes dadas:
  • Sabemos os valores simbólicos dos logaritmos de a,b,c: \log(a)=A, \log(b)=B, \log\text{(c)}=C.
  • A expressão alvo envolve produto, potência e raiz quadrada de a,b,c.
    A pergunta direta: qual é o valor de \log\!\left(\dfrac{a^{2}\cdot b}{\sqrt{c}}\right) em função de A,B,C?

Passo 2

Vamos lembrar e entender as propriedades dos logaritmos que vamos usar. Primeiro, a propriedade do produto:
\log(xy)=\log(x)+\log(y).
O que isso diz, com palavras simples: o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos dos fatores. Exemplo numérico (só para intuição): \log(2\cdot5)=\log(10)=\log(2)+\log(5).

Passo 3

Outra regra essencial é a da potência:
\log\big(x^{k}\big)=k\log(x).
Isto significa que quando um número está elevado a uma potência, o logaritmo “desce” como multiplicador. Exemplo: \log(2^{3})=3\log(2).

Passo 4

Também usaremos a propriedade do quociente:
\log\!\left(\frac{x}{y}\right)=\log(x)-\log(y).
Ou seja, o logaritmo de uma divisão é a diferença dos logaritmos.

Passo 5

Transformar a raiz quadrada em potência fracionária facilita usar as propriedades: \sqrt{c}=c^{1/2}. Portanto a expressão dentro do log fica
\frac{a^{2}\cdot b}{\sqrt{c}}=\frac{a^{2}\cdot b}{c^{1/2}}.

Passo 6

Agora aplicamos a propriedade do logaritmo do quociente:
\log\!\left(\frac{a^{2}\cdot b}{c^{1/2}}\right)=\log\big(a^{2}\cdot b\big)-\log\big(c^{1/2}\big).
Aqui usamos \log(\frac{X}{Y})=\log X-\log Y.

Passo 7

Em seguida aplicamos a propriedade do produto no primeiro termo:
\log\big(a^{2}\cdot b\big)=\log\big(a^{2}\big)+\log(b).
Então substituindo:
\log\!\left(\frac{a^{2}\cdot b}{c^{1/2}}\right)=\log\big(a^{2}\big)+\log(b)-\log\big(c^{1/2}\big).

Passo 8

Agora usamos a regra da potência nos termos \log(a^{2}) e \log(c^{1/2}):
\log\big(a^{2}\big)=2\log(a),\qquad \log\big(c^{1/2}\big)=\tfrac{1}{2}\log\text{(c)}.

Passo 9

Substituindo \log(a)=A, \log(b)=B e \log\text{(c)}=C nas expressões, obtemos
\log\!\left(\frac{a^{2}\cdot b}{\sqrt{c}}\right)=2\log(a)+\log(b)-\tfrac{1}{2}\log\text{(c)}=2A+B-\tfrac{C}{2}.

Resposta

c) 2A+B-\dfrac{C}{2}

Exercícios relacionados