(Ufrgs) O valor da expressão \log (2024)-\log (202,4)+\log (20,24)-\log (2,024) é
a) 4 .
b) 2 .
c) 0 .
d) -2 .

Passo 1

O enunciado dá a expressão
\log(2024)-\log(202,4)+\log(20,24)-\log(2,024)
e pede o seu valor. As alternativas oferecidas são:
a) 4.
b) 2.
c) 0.
d) -2.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade fundamental de logaritmos que vou usar várias vezes: para quaisquer números positivos a e b,
\log(a)-\log(b)=\log\!\left(\frac{a}{b}\right).
Aqui \log é o logaritmo comum (base 10) — se não for especificada a base em exercícios desse tipo, normalmente entende-se a base 10. Nesta fórmula:
  • a e b são os argumentos dos logaritmos (números positivos),
  • o lado direito é o logaritmo do quociente a/b.
Exemplo rápido para fixar: \log(100)-\log(10)=\log\!\left(\dfrac{100}{10}\right)=\log(10)=1.

Passo 3

Aplicando a propriedade à expressão dada, podemos agrupar termos em pares:
\log(2024)-\log(202,4)=\log\!\left(\frac{2024}{202,4}\right)
e
\log(20,24)-\log(2,024)=\log\!\left(\frac{20,24}{2,024}\right).
Portanto a expressão inteira vira
\log\!\left(\frac{2024}{202,4}\right)+\log\!\left(\frac{20,24}{2,024}\right).

Passo 4

Agora simplificamos cada quociente. Observe que 202,4 é 2024 dividido por 10, ou seja 202,4=\dfrac{2024}{10}. Logo
\frac{2024}{202,4}=\frac{2024}{2024/10}=10.
Uma forma prática: mover a vírgula uma casa à esquerda no divisor equivale a multiplicar o quociente por 10.

Passo 5

De modo análogo, 2,024 é 20,24 dividido por 10, pois 2,024\cdot10=20,24. Assim
\frac{20,24}{2,024}=10.

Passo 6

Substituindo os resultados na expressão dos logaritmos:
\log(2024)-\log(202,4)+\log(20,24)-\log(2,024)=\log(10)+\log(10).
Usando a propriedade \log(a)+\log(b)=\log(ab) (onde a,b>0), isso é
\log(10\cdot10)=\log(100).
Como estamos usando logaritmo de base 10, vale \log(10)=1 e portanto \log(100)=2.

Passo 7

Conclusão: o valor da expressão é 2. Força aí — é só aplicar as propriedades de log e observar os deslocamentos de vírgula!

Resposta

2

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