As especificações de projeto de um eixo de transmissão circular com 2 m de comprimento requerem que o ângulo de torção não exceda 3^circ quando um torque de 9 kN.m for aplicado. Determine o diâmetro do eixo sabendo que o eixo é feito de a) aço ( G=77 GPa, tauadm=90 MPa ), b) bronze ( G=42 GPa, tauadm=35 MPa ).

Passo 1

Beleza, olha só o que o exercício tá pedindo: temos um eixo circular de 2 m de comprimento e queremos que, quando aplicamos um torque de 9 kN·m, o ângulo de torção não ultrapasse 3°. Precisamos achar o diâmetro desse eixo para dois materiais:
a) aço (G = 77 GPa, τ_adm = 90 MPa)
b) bronze (G = 42 GPa, τ_adm = 35 MPa)
Conteúdo envolvido e o que vamos usar:
  • Teoria da torção em eixos circulares:
    • Ângulo de torção: (em radianos)
    • Momento polar de inércia:
  • Critério de tensão de cisalhamento:
    • Tensão máxima:
  • Vamos calcular dois diâmetros: um para não passar de 3° de torção e outro para não passar da tensão admissível. No final, escolhemos o maior.

Passo 2

Primeiro, controle pelo ângulo de torção. Queremos
phi = T,LJ,G <= 3^circ = 3pi180 = pi60;rad
Substituindo T,L(pi d^4/32),G <= pi60 ;Longrightarrow; d^4 >= 32,T,Lpi,G,(pi/60) = 32cdot Tcdot Lcdot 60pi^2,G e isolando :

Passo 3

Agora a gente coloca os números. Tor­que d^4 >= 32cdot9000cdot2cdot60pi^2cdot77cdot10^9 approx 4,55times10^-5;m^4 ;Longrightarrow; dphi,açoapprox(4,55cdot10^-5)^1/4approx0,0822;m , d^4 >= 32cdot9000cdot2cdot60pi^2cdot42cdot10^9 approx 8,34times10^-5;m^4 ;Longrightarrow; dphi,bronzeapprox(8,34cdot10^-5)^1/4approx0,0957;m .
a) Aço ( ):
ç
b) Bronze ( ):

Passo 4

Agora, controle pela tensão admissível. A tensão de cisalhamento máxima é
taumax = 16,Tpi,d^3 <= tauadm
Isolando d^3 >= 16,Tpi,tauadm ;Longrightarrow; d >= l(16,Tpi,tauadmr)^1/3 :

Passo 5

Substituindo de novo os valores:
a) Aço ( d^3 >= 16cdot9000picdot90cdot10^6 approx5,09times10^-4;m^3 ;Longrightarrow; dtau,açoapprox(5,09cdot10^-4)^1/3approx0,0798;m ):
d^3 >= 16cdot9000picdot35cdot10^6 approx1,31times10^-3;m^3 ;Longrightarrow; dtau,bronzeapprox(1,31cdot10^-3)^1/3approx0,1095;m ç
b) Bronze ( ):

Passo 6

Para cada material, a gente deve escolher o diâmetro que satisfaça ambos os limites (torção e tensão). Ou seja, o maior dos dois valores:
a) Aço: e → escolhe 0,0822 m (82,2 mm).
b) Bronze: e → escolhe 0,1095 m (109,5 mm).

Resposta

a) Diâmetro mínimo para o eixo de aço: 82,2 mm
b) Diâmetro mínimo para o eixo de bronze: 109,5 mm

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