Um tubo de aço com 60 mm de diâmetro externo deve ser usado para transmitir um torque de 350 N.m sem exceder a tensão de cisalhamento admissível de 12 MPa . Uma série de tubos no estoque tem espessuras de 2,4,6, 8 e 10 mm . Qual o tubo que deve ser usado?

Passo 1

Beleza, manda ver no resumo:
Enunciado: temos um tubo de aço com diâmetro externo do = 60 mm. Queremos transmitir um torque T = 350 N·m sem passar da tensão de cisalhamento admissível taurm adm = 12 MPa. No estoque há tubos com espessuras t = 2,4,6,8,10 mm. Qual escolher?
Conteúdo: Tensão de cisalhamento em torção de eixos circulares ocos.
Precisamos da teoria da torção: polar momento de inércia J e relação taumax=T,c/J.

Passo 2

Primeiro vamos escrever as fórmulas essenciais e converter unidades:
  1. Torque em N·mm:
T = 350 N·m = 350cdot10^3 N·mm
2) Para um tubo de diâmetros do e di, o momento polar de inércia é
J = pi32l(do^4 - di^4r)
  1. A tensão de cisalhamento máxima na superfície externa (raio c = do/2) é
tau = T,cJ
Vamos testar cada espessura t, sabendo que di = do - 2t e checar se tau <= 12 MPa.

Passo 3

Calculemos para t=2,4,6,mm e vejamos se passa do limite.
(a) Para t=2,mm:
  • di = 60 - 2cdot2 = 56,mm
  • J = pi32(60^4 - 56^4),mm^4
  • c = 30,mm
  • tau = 350cdot10^3 times 30J approx 34 MPa
    Já estourou o limite de 12 MPa.
(b) Para t=4,mm:
  • di = 60 - 2cdot4 = 52,mm
  • J = pi32(60^4 - 52^4)
  • tau approx 19 MPa
    Ainda acima de 12 MPa.
© Para t=6,mm:
  • di = 60 - 2cdot6 = 48,mm
  • tau approx 14 MPa
    Pouco acima do admissível.

Passo 4

Agora, t=8 e 10,mm:
(d) Para t=8,mm ( di=44,mm):
  • J = pi32(60^4 - 44^4),, tau approx 11,6 MPa<=12 MPa
    Está ok!
(e) Para t=10,mm ( di=40,mm):
  • tau approx 10,3 MPa<=12 MPa
    Também ok, mas é “mais grosso” que o necessário.

Resposta

O tubo mais fino que atende ao requisito é o de espessura 8 mm.

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