Especifique uma bomba para atender uma vazão de 1000 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} a 3500 rpm para uma altura manométrica de 28,2 \mathrm{~m}. Informar o diâmetro do rotor, o rendimento da bomba e a potência de acionamento.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (resumindo para ficar claro o que se pede):
  • Vazão solicitada: \displaystyle Q=1000\\ \mathrm{m^{3}/h}.
  • Velocidade de rotação: \displaystyle n=3500\\ \mathrm{rpm}.
  • Altura manométrica: \displaystyle H=28{,}2\\ \mathrm{m}.
O que a questão pede:
  • Determinar o diâmetro do rotor (impulsor) da bomba.
  • Estimar o rendimento (eficiência) da bomba.
  • Calcular a potência de acionamento (potência no eixo/shaft) necessária.
Observações importantes já neste passo (não resolvo ainda):
  • Vou transformar unidades para o sistema SI consistente e usar conceitos práticos de projeto aproximado de bombas centrífugas (coeficiente de vazão não adimensional, velocidade periférica, velocidade específica) para obter um diâmetro plausível. Também vou estimar rendimento a partir do valor adimensional de velocidade específica e de valores típicos de bombas comerciais, porque o enunciado não dá curvas nem geometria detalhada.

Passo 2

Conversões e valores numéricos básicos (explico cada passo porque você ainda não estudou):
  • Converter vazão de \mathrm{m^{3}/h} para \mathrm{m^{3}/s}. A fórmula é \displaystyle Q_{(\mathrm{m^{3}/s})}=\dfrac{Q_{(\mathrm{m^{3}/h})}}{3600}. \displaystyle Q=\frac{1000}{3600}=0{,}277777\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Converter rotação para revoluções por segundo (porque várias fórmulas não-adimensionais usam \mathrm{rev/s}): \displaystyle n_{(\mathrm{rev/s})}=\frac{3500}{60}=58{,}3333\\ \mathrm{rev/s}.
  • Dado físico da água (pressuposto): \displaystyle \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
    Explicação curta: essas conversões são necessárias para usar as fórmulas com unidades consistentes; sem isso os números saem errados.

Passo 3

Escolha do método para estimar o diâmetro do impulsor (por que uso esse método):
  • Para estimar o diâmetro sem curvas da bomba, uso o coeficiente adimensional de vazão (flux coefficient) definido por \displaystyle \varphi=\frac{Q}{n\,D^{3}},onde
    • \displaystyle Q é a vazão em \mathrm{m^{3}/s},
    • \displaystyle n é a rotação em \mathrm{rev/s},
    • \displaystyle D é o diâmetro do impulsor em \mathrm{m}.
  • Raciocínio: para conjuntos geometricamente semelhantes, \varphi costuma assumir valores típicos que dependem do tipo de bomba (radial, misto, axial). Valores típicos de \varphi para bombas centrífugas com lâminas curvadas para trás ficam na faixa aproximada \displaystyle 0{,}02 a \displaystyle 0{,}06 (ordem de grandeza); bombas de maior specific speed têm \varphi maiores; bombas muito radiais têm \varphi menores.
  • Vou escolher um valor de referência \displaystyle \varphi=0{,}04 (valor moderado, comum para bombas de fluxo considerável e geometria típica) e calcular D a partir disso. Vou justificar a escolha depois comparando com a velocidade periférica resultante e com a velocidade específica (que indica o tipo de bomba).
Explicação didática do que é \varphi: é uma forma de comparar vazões entre bombas de tamanhos e rotações diferentes — se duas bombas são geometricamente semelhantes, a mesma \varphi dá pontos de operação semelhantes.

Passo 4

Determinar o diâmetro do impulsor usando a escolha \displaystyle \varphi=0{,}04:
  • Isolando \displaystyle D da definição de \varphi: \displaystyle D=\left(\frac{Q}{n\,\varphi}\right)^{1/3}.
  • Substituindo os valores (vou escrever tudo em LaTeX para manter padronização): \displaystyle D=\left(\frac{0{,}277777\\ }{58{,}3333\cdot 0{,}04}\right)^{1/3}.Primeiro calcule o denominador: \displaystyle n\varphi=58{,}3333\times 0{,}04=2{,}33333.Depois a razão: \displaystyle \frac{Q}{n\varphi}=\frac{0{,}277777}{2{,}33333}=0{,}1190476.Agora a raiz cúbica: \displaystyle D=(0{,}1190476)^{1/3}=0{,}4926\\ \mathrm{m}.
  • Resultado prático: \displaystyle D\approx 0{,}493\\ \mathrm{m} (ou seja, cerca de 49{,}3\\ \mathrm{cm}).
Comentário sobre a escolha de \varphi: se eu tivesse escolhido \varphi um pouco maior ( 0{,}05) o diâmetro cairia para cerca de 0{,}45\\ \mathrm{m}; se \varphi menor ( 0{,}03) o diâmetro subiria para cerca de 0{,}53\\ \mathrm{m}. Portanto o resultado está na casa dos 0,4–0,6 m — intervalo razoável para essa vazão/rotação.

Passo 5

Verificação com velocidade periférica (confere se o diâmetro faz sentido em engenharia prática):
  • Velocidade periférica na borda do impulsor é \displaystyle u_{2}=\omega r=\pi\,n_{(\mathrm{rev/s})}\,D. (explicação: u_{2}=2\pi f \cdot D/2 = \pi n D quando n está em \mathrm{rev/s}).
  • Substituindo: \displaystyle u_{2}=\pi\cdot 58{,}3333\cdot 0{,}4926 = 90{,}3\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação: \displaystyle u_{2}\approx 90\\ \mathrm{m/s}. Em bombas centrífugas pequenas e de alta rotação é aceitável ter velocidades periféricas elevadas (algumas máquinas chegam a 80–120 m/s). Se isso causasse problema (cavitação, altas perdas de atrito, resistência mecânica), projetistas optariam por reduzir rotação e aumentar diâmetro; como o enunciado fixa 3500\\ \mathrm{rpm}, esse valor de D é coerente com a combinação Q e n.

Passo 6

Cálculo da velocidade específica adimensional (specific speed) e uso para estimar rendimento:
  • Uma definição prática e frequentemente usada para velocidade específica em unidades métricas é \displaystyle N_{s}=\frac{n_{(\mathrm{rpm})}\,\sqrt{Q_{(\mathrm{m^{3}/s})}}}{H^{3/4}}.Aqui:
    • n_{(\mathrm{rpm})}=3500,
    • Q_{(\mathrm{m^{3}/s})}=0{,}277777,
    • H=28{,}2.
  • Calcule \sqrt{Q}: \displaystyle \sqrt{Q}=\sqrt{0{,}277777}=0{,}52705.
  • Calcule H^{3/4}: \displaystyle H^{3/4}=28{,}2^{3/4}=12{,}23\\ \text{(aprox.)}.
  • Agora N_{s}: \displaystyle N_{s}=\frac{3500\times 0{,}52705}{12{,}23}=150{,}8\\ \text{(adimensional na forma empregada)}.
  • Interpretação física e impacto no rendimento:
    • Valores de N_{s} menores indicam bombas mais radiais (boas para altas alturas e vazões menores), valores maiores indicam bombas mais axiais/mistas (boas para altas vazões com menor altura).
    • Para N_{s} na faixa \sim 100 300 é comum encontrar bombas centrífugas e misto-axiais com rendimentos razoáveis; rendimento comercial típico pode variar entre 0{,}70 e 0{,}85 dependendo do projeto (número de estágios, acabamento, perdas internas).
    • Portanto, com N_{s}\approx 151 (valor moderado), é razoável estimar um rendimento da bomba entre 0{,}72 e 0{,}80.

Passo 7

Escolha final do rendimento (razões e valor adotado):
  • Vou adotar um valor intermediário e realista para uma bomba centrífuga/misto com esse specific speed: \displaystyle \eta=0{,}78 (ou 78\%).
  • Justificativa didática: isso está dentro do intervalo prático para bombas industriais bem projetadas nessa região de operação; nem otimista demais (0,85+), nem pessimista (0,65).

Passo 8

Cálculo da potência hidráulica e da potência de eixo (potência de acionamento na bomba):
  • A potência hidráulica entregue ao fluido (potência útil) é \displaystyle P_{h}=\rho\,g\,Q\,H.Substituindo valores: \displaystyle P_{h}=1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}277777\cdot 28{,}2.Primeiro QH: \displaystyle QH=0{,}277777\cdot 28{,}2=7{,}833333.Depois \rho g QH: \displaystyle P_{h}=1000\cdot 9{,}81\cdot 7{,}833333=76{,}846\\ \mathrm{kW}\\ \text{(aprox.)}.(escrevo em kW para ficar prático: 76{,}846\\ \mathrm{kW}).
  • Potência de eixo (potência de acionamento) é a potência hidráulica dividida pelo rendimento: \displaystyle P_{shaft}=\frac{P_{h}}{\eta}=\frac{76{,}846}{0{,}78}=98{,}54\\ \mathrm{kW}.
  • Interpretação: é razoável considerar, para seleção do motor, um valor comercial arredondado superior (por exemplo 100\\ \mathrm{kW} ou adicionando margem de partida e segurança talvez 110\\ \mathrm{kW}), mas a potência calculada física é \displaystyle 98{,}5\\ \mathrm{kW}.

Passo 9

Resumo e indicação prática (breve instrução para prova / como justificar na hora):
  • Passo a passo que você deve escrever na prova:
    1. Converter Q e n para SI.
    2. Assumir um coeficiente adimensional de vazão \varphi típico (explique por que escolheu o valor).
    3. Calcular o diâmetro com \displaystyle D=(Q/(n\varphi))^{1/3}.
    4. Verificar velocidade periférica \displaystyle u_{2}=\pi n D e checar se está em faixa prática.
    5. Calcular o specific speed N_{s} e escolher um rendimento típico de tabela/experiência.
    6. Calcular P_{h}=\rho g Q H e P_{shaft}=P_{h}/\eta.
  • Peça no exame: se quisessem outro nível de precisão, dariam curva da bomba ou detalhes geométricos; sem isso a solução aceita justificar suposições e apresentar cálculo numérico.

Resposta

Diâmetro do rotor: \displaystyle D\approx 0{,}493\\ \mathrm{m}.
Rendimento da bomba (estimado): \displaystyle \eta\approx 0{,}78 (78%).
Potência de acionamento (eixo): \displaystyle P_{shaft}\approx 98{,}5\\ \mathrm{kW}.

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