Um projeto de cais será estudado em um canal de água para simular as forças causadas por furacões. Usando um modelo com escala 1: 10, qual velocidade deveria ser selecionada no estudo do modelo para simular uma velocidade de 12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. R. V(m) =3,79 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Escala do modelo: 1:10. Isso significa que o comprimento característico do modelo é \tfrac{1}{10} do comprimento do protótipo.
  • Velocidade no protótipo (no caso real): \;12\\ \mathrm{m/s}.
  • Pergunta: qual velocidade deve ser usada no modelo para simular essa velocidade de \;12\\ \mathrm{m/s}?

Passo 2

Qual princípio físico usar? Aqui precisamos igualar a semelhança dinâmica entre modelo e protótipo. Para escoamentos com superfície livre (canal, ondas, ação de furacões sobre a água) o número adimensional relevante é o número de Froude. Vou te explicar o que é e por que usar.
O número de Froude mede a relação entre forças de inércia e forças gravitacionais em um escoamento. Ele é definido por:
\mathrm{Fr}=\frac{V}{\sqrt{gL}},
onde:
  • V é a velocidade característica (em \mathrm{m/s}),
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^2}),
  • L é um comprimento característico do problema (em \mathrm{m}).
Para que o modelo represente corretamente o protótipo em problemas onde a gravidade e as ondas superficiais dominam (como em um canal simulando furacões), devemos manter \mathrm{Fr}_{\text{modelo}}=\mathrm{Fr}_{\text{protótipo}}ó. Por isso escolhemos a semelhança de Froude.

Passo 3

Escrevendo a igualdade dos números de Froude entre protótipo (índice p) e modelo (índice m):
\frac{V_p}{\sqrt{g\,L_p}}=\frac{V_m}{\sqrt{g\,L_m}}.
Aqui:
  • V_p é a velocidade do protótipo ( 12\\ \mathrm{m/s}),
  • L_p é o comprimento do protótipo,
  • V_m é a velocidade do modelo (o que queremos achar),
  • L_m é o comprimento do modelo.
Note que g cancela dos dois lados, então isolamos V_m:
V_m = V_p\sqrt{\frac{L_m}{L_p}}.

Passo 4

Agora usamos a escala geométrica dada: \displaystyle\frac{L_m}{L_p}=\frac{1}{10}. Substituindo na fórmula de escala de velocidade:
V_m = V_p\sqrt{\frac{1}{10}} = V_p\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}.
Substituindo V_p=12\\ \mathrm{m/s}:
V_m = 12\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}.

Passo 5

Calculemos numericamente. Primeiro \sqrt{10}\approx 3{,}1623. Então
V_m \approx \frac{12}{3{,}1623}\approx 3{,}7947\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais (bom para prova e para controle de experimento), obtemos 3{,}79\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

3{,}79\\ \mathrm{m/s}

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