Deseja-se bombear água de uma adutora com uma vazão de 120 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} para abastecer uma cidade no interior do Paraná. Para isso, será utilizada uma bomba centrífuga que opera a 1750 rpm . Determine o rendimento e a potência de uma bomba utilizada, considerando uma altura manométrica de 30 m .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: o rendimento da bomba e a potência necessária. As informações fornecidas são:
  • vazão Q = 120\\ \mathrm{m^{3}/h},
  • altura manométrica H = 30\\ \mathrm{m},
  • a bomba é centrífuga e opera a 1750\\ \mathrm{rpm}.
Vou listar claramente o que falta para determinar o rendimento exatamente: para calcular o rendimento real de uma bomba centrífuga é preciso a curva da bomba (ou dados do fabricante) que relaciona Q, H e o rendimento \eta. Como o enunciado não fornece essa curva nem um rendimento já medido, não é possível obter um rendimento exato apenas com Q, H e a rotação. Portanto, aqui vou:
  1. calcular a potência hidráulica (valor físico determinado pelos dados),
  2. explicar o que é rendimento e por que não dá para calculá-lo unicamente com os dados,
  3. adotar, de forma justificada e explícita, um valor típico de rendimento para uma bomba centrífuga e calcular a potência do eixo correspondente.

Passo 2

Vamos converter a vazão para unidades do SI (metros cúbicos por segundo), porque as fórmulas de potência usam essas unidades.
A conversão é:
Q = 120\\ \mathrm{m^{3}/h} = \frac{120}{3600}\\ \mathrm{m^{3}/s} = 0{,}033333\ldots\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Para facilitar contas manuais, podemos notar que 0{,}033333\ldots = \dfrac{1}{30}.

Passo 3

Apresento a fórmula da potência hidráulica (potência transmissível ao fluido), explicando cada termo:
A potência hidráulica P_{h} é dada por
P_{h} = \rho \, g \, Q \, H,
onde:
  • \rho é a massa específica do fluido (para água pura, \rho \approx 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}),
  • g é a aceleração da gravidade ( g \approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}),
  • Q é a vazão volumétrica em \mathrm{m^{3}/s},
  • H é a altura manométrica em \mathrm{m}.
Interpretação física: \rho g Q dá a massa de água por segundo vezes a aceleração, e multiplicando por H obtemos a energia por segundo (potência) necessária para elevar essa massa pela altura H.

Passo 4

Agora calculamos numericamente P_{h}. Substituindo os valores:
P_{h} = 1000 \cdot 9{,}81 \cdot 0{,}033333\ldots \cdot 30.
Fazendo as contas passo a passo:
1000\cdot 9{,}81 = 9810,
9810 \cdot 0{,}033333\ldots = 327{,}0,
327{,}0 \cdot 30 = 9810\\ \mathrm{W}.
Portanto,
P_{h} = 9810\\ \mathrm{W} = 9{,}81\\ \mathrm{kW}.
Isso é a potência que a bomba deve entregar ao fluido (potência hidráulica). É um valor físico determinado apenas por Q, H, \rho e g.

Passo 5

Definição de rendimento e por que não dá para calculá-lo exatamente daqui:
O rendimento da bomba \eta é a razão entre a potência hidráulica entregue ao fluido e a potência de eixo (ou potência de entrada do eixo da bomba):
\eta = \frac{P_{h}}{P_{e}},
onde P_{e} é a potência no eixo da bomba (a que o motor precisa fornecer ao eixo, sem considerar perdas no motor). Rearranjando,
P_{e} = \frac{P_{h}}{\eta}.
Para saber \eta exatamente você precisa da curva de rendimento da bomba (dados do fabricante) ou de uma medição. A rotação 1750\\ \mathrm{rpm} e os valores de Q e H ajudam a identificar a condição de operação no mapa da bomba, mas sem o mapa não conseguimos o valor numérico de \eta.

Passo 6

Como o enunciado não dá a curva, a prática usual em projetos quando falta a curva é adotar um valor típico de rendimento para bombas centrífugas, justificando isso e deixando claro que é uma suposição. Faço isso explicitamente:
  • Bombas centrífugas comerciais, operando perto do ponto de melhor eficiência, tipicamente têm rendimentos na faixa de aproximadamente 60\% a 85\% dependendo do projeto e do ponto de operação.
  • Para uma estimativa conservadora e razoável, vou assumir um rendimento típico de projeto de \eta = 0{,}70 (ou seja, 70\%). Esse é um valor bastante usado em cálculos preliminares quando não se tem a curva do fabricante — é moderado (nem otimista demais, nem pessimista demais).
Observação: se você conseguir a curva da bomba ou do fabricante depois, basta substituir o \eta real e recalcular P_{e}.

Passo 7

Com \eta = 0{,}70 (assumido), calculamos a potência de eixo P_{e}:
P_{e} = \frac{P_{h}}{\eta} = \frac{9810\\ \mathrm{W}}{0{,}70} = 14014{,}2857\\ \mathrm{W}.
Arredondando para uma apresentação prática:
P_{e} \approx 14{,}01\\ \mathrm{kW}.
Comentário prático: ao escolher o motor elétrico que acionará a bomba, normalmente seleciona-se um motor com potência comercial superior à calculada (por exemplo, um motor de 15\\ \mathrm{kW}) para permitir margem de segurança e cobrir perdas adicionais (perdas no acoplamento, variações de operação, etc.).

Resposta

Rendimento (assumido típico) = 0{,}70\n
Potência hidráulica = 9{,}81\\ \mathrm{kW}\n
Potência do eixo (necessária) = 14{,}01\\ \mathrm{kW}

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