Especifique os focos e os vértices, e calcule a distância focal, as medidas dos eixos transverso e conjugado, e as equações das assíntotas das hipérboles abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de hipérbole juntos! A gente precisa identificar os focos e vértices, calcular a distância focal, as medidas dos eixos transverso e conjugado, e encontrar as equações das assíntotas da hipérbole dada pela equação
. Para isso, vamos usar os conceitos de equações padrão de hipérboles, identificar os parâmetros principais e aplicar as fórmulas necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma geral de uma hipérbole com eixo transversal no eixo x é:
No nosso caso, a equação é
. Vamos dividir todos os termos por 10 para igualar a 1 no lado direito:
Mas preferimos ter coeficientes
e
com denominadores perfeitos, então reescrevemos como:
Assim, identificamos
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
e
:
Passo 4
A distância focal
é calculada pela fórmula
:
Passo 5
Os vértices da hipérbole estão localizados a uma distância
do centro. Como não há termos de
ou
, o centro está na origem
.
Portanto, os vértices são:
Passo 6
Os focos estão localizados a uma distância
do centro:
Passo 7
As medidas dos eixos:
- Eixo Transverso:
- Eixo Conjugado:
Passo 8
As equações das assíntotas de uma hipérbole na forma
são dadas por:
Substituindo os valores de
e
:
Resposta
- Vértices:
- Focos:
- Distância Focal:
- Eixo Transverso:
- Eixo Conjugado:
- Equações das Assíntotas:
e