Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole e faça um esboço. Os focos são (-5,0) e (5,0), e amplitude focal é 9 / 2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos os focos da hipérbole em (-5, 0) e (5, 0), e a amplitude focal é 9/2. O conteúdo que vamos usar aqui envolve a geometria das hipérboles, especificamente a fórmula da equação reduzida de uma hipérbole com eixos alinhados aos eixos coordenados. Vamos precisar identificar os valores dos parâmetros a, b e c para montar a equação.

Passo 2

Os focos da hipérbole são dados por (-5, 0) e (5, 0). Isso significa que a hipérbole está centrada na origem (0, 0) e abre-se ao longo do eixo x. A distância entre os focos é 2c, onde c é a distância do centro a cada foco. Calculando:
2c = 10 Rightarrow c = 5

Passo 3

A amplitude focal mencionada como 9/2 refere-se ao comprimento do eixo transversal, que é 2a. Assim:
2a = 92 Rightarrow a = 94

Passo 4

Sabemos que, em uma hipérbole, a relação entre a, b e c é dada por:
c^2 = a^2 + b^2
Substituindo os valores conhecidos:
5^2 = (94)^2 + b^2 25 = 8116 + b^2 b^2 = 25 - 8116 b^2 = 40016 - 8116 b^2 = 31916

Passo 5

Agora que temos os valores de a^2 e b^2, podemos escrever a equação reduzida da hipérbole que abre-se ao longo do eixo x:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Substituindo os valores:
x^2(94)^2 - y^231916 = 1 x^28116 - y^231916 = 1 16x^281 - 16y^2319 = 1

Passo 6

Para o esboço da hipérbole, sabemos que ela está centrada na origem, abre-se para a esquerda e direita ao longo do eixo x, tem vértices em (pm a, 0), ou seja, (pm 94, 0), e seus focos em (-5, 0) e (5, 0). As assíntotas podem ser desenhadas utilizando a fórmula y = pm bax.

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é:
16x^281 - 16y^2319 = 1
E o esboço apresenta uma hipérbole centrada na origem, com vértices em (94, 0) e (-94, 0), focos em (5, 0) e (-5, 0), abrindo-se para os lados ao longo do eixo x, e assíntotas definidas por y = pm raiz3199x.

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