Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole e faça um esboço. Os focos são
e
, e amplitude focal é
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos os focos da hipérbole em
e
, e a amplitude focal é
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve a geometria das hipérboles, especificamente a fórmula da equação reduzida de uma hipérbole com eixos alinhados aos eixos coordenados. Vamos precisar identificar os valores dos parâmetros
,
e
para montar a equação.
Passo 2
Os focos da hipérbole são dados por
e
. Isso significa que a hipérbole está centrada na origem
e abre-se ao longo do eixo
. A distância entre os focos é
, onde
é a distância do centro a cada foco. Calculando:
Passo 3
A amplitude focal mencionada como
refere-se ao comprimento do eixo transversal, que é
. Assim:
Passo 4
Sabemos que, em uma hipérbole, a relação entre
,
e
é dada por:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 5
Agora que temos os valores de
e
, podemos escrever a equação reduzida da hipérbole que abre-se ao longo do eixo
:
Substituindo os valores:
Passo 6
Para o esboço da hipérbole, sabemos que ela está centrada na origem, abre-se para a esquerda e direita ao longo do eixo
, tem vértices em
, ou seja,
, e seus focos em
e
. As assíntotas podem ser desenhadas utilizando a fórmula
.
Resposta
A equação reduzida da hipérbole é:
E o esboço apresenta uma hipérbole centrada na origem, com vértices em
e
, focos em
e
, abrindo-se para os lados ao longo do eixo
, e assíntotas definidas por
.