Seja
e
, bases do
.
(a) Determine
e
(a) Determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de mudanças de base em Álgebra Linear. A gente tem quatro bases diferentes de
:
,
,
e
. O que a questão pede é para determinar as matrizes de mudança de base entre essas bases específicas. Para isso, a gente vai precisar entender como expressar os vetores de uma base em termos dos vetores de outra base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Se quisermos mudar de uma base
para outra base
, a matriz de mudança de base
é formada pelas coordenadas dos vetores de
escritos na base
. Ou seja, cada coluna dessa matriz representa como um vetor da base
se escreve na base
.
Passo 3
Vamos começar encontrando a matriz de mudança de base de
para
, ou seja,
.
Os vetores de
são
e
. Precisamos expressar cada um desses vetores como combinação linear dos vetores de
, que são
e
.
Para
:
Então, as coordenadas são
.
Para
:
Então, as coordenadas são
.
Assim, a matriz
é:
Passo 4
Agora, vamos determinar
.
Os vetores de
são
e
. Precisamos expressá-los na base
, cujos vetores são
e
.
Para
, queremos encontrar
e
tal que:
Isso resulta no sistema:
Resolvendo, temos
e
. Então, as coordenadas são
.
Para
, queremos:
Sistema:
Resolvendo,
e
. Então, as coordenadas são
.
Assim, a matriz
é:
Passo 5
Vamos seguir para
.
Os vetores de
são
e
. Precisamos expressá-los na base
, que tem os vetores
e
.
Para
, buscamos
e
tais que:
Sistema:
Resolvendo, multiplicamos a primeira equação por 1:
A segunda equação:
Somando as duas:
Substituindo em uma das equações:
Então, as coordenadas são
.
Para
, buscamos:
Sistema:
Somando:
Substituindo:
Então, as coordenadas são
.
Portanto, a matriz
é:
Passo 6
Por último, vamos determinar
.
Os vetores de
são
e
. Precisamos expressá-los na base
, que tem
e
.
Para
, buscamos
e
tais que:
Sistema:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira:
Então,
. As coordenadas são
.
Para
, buscamos:
Sistema:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira:
Então,
. As coordenadas são
.
Portanto, a matriz
é:
Resposta
As matrizes de mudança de base são: