Calcule os valores de
para as seguintes funções:
O que você pode dizer sobre os resultados encontrados?
O que você pode dizer sobre os resultados encontrados?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular os valores de
para a função
. Aqui, estamos lidando com operadores de momento angular na mecânica quântica, especificamente o operador
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções harmônicas esféricas (
) e como o operador
atua sobre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função dada:
. Sabemos que as funções harmônicas esféricas
são soluções das equações de momento angular e que cada uma é rotulada por dois números quânticos,
e
.
A função
corresponde a uma função harmônica esférica específica. Comparando com as formas conhecidas, vemos que
é igual a
. Portanto, podemos reescrever a função como
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o operador
sobre
. A propriedade das funções harmônicas esféricas é que elas são autovalores desse operador. A relação é dada por:
Isso significa que quando aplicamos
em
, obtemos
vezes a própria função
.
Passo 4
No nosso caso, identificamos que
e
. Então, aplicando a fórmula:
Isso significa que o operador
age sobre
multiplicando a função por 2.
Resposta
Depois de aplicar
na função dada, obtemos:
Isso mostra que a função
é um autovalor de
com valor 2. Ou seja, a função é uma função harmônica esférica de momento angular total
.