Calcule os valores de L^2 Y(theta, phi) para as seguintes funções:
(3 / 4 pi)^1 / 2 cos theta
O que você pode dizer sobre os resultados encontrados?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular os valores de L^2 Y(theta, phi) para a função (34pi)^1/2 cos theta. Aqui, estamos lidando com operadores de momento angular na mecânica quântica, especificamente o operador L^2. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções harmônicas esféricas ( Yl,m) e como o operador L^2 atua sobre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função dada: (34pi)^1/2 cos theta. Sabemos que as funções harmônicas esféricas Yl,m(theta, phi) são soluções das equações de momento angular e que cada uma é rotulada por dois números quânticos, l e m.
A função cos theta corresponde a uma função harmônica esférica específica. Comparando com as formas conhecidas, vemos que (34pi)^1/2 cos theta é igual a Y1,0(theta, phi). Portanto, podemos reescrever a função como Y1,0(theta, phi).

Passo 3

Agora, vamos aplicar o operador L^2 sobre Yl,m(theta, phi). A propriedade das funções harmônicas esféricas é que elas são autovalores desse operador. A relação é dada por:
L^2 Yl,m(theta, phi) = l(l+1) Yl,m(theta, phi)
Isso significa que quando aplicamos L^2 em Yl,m, obtemos l(l+1) vezes a própria função Yl,m.

Passo 4

No nosso caso, identificamos que l = 1 e m = 0. Então, aplicando a fórmula:
L^2 Y1,0(theta, phi) = 1(1+1) Y1,0(theta, phi) = 2 Y1,0(theta, phi)
Isso significa que o operador L^2 age sobre Y1,0 multiplicando a função por 2.

Resposta

Depois de aplicar L^2 na função dada, obtemos:
L^2 (34pi)^1/2 cos theta = 2 (34pi)^1/2 cos theta
Isso mostra que a função (34pi)^1/2 cos theta é um autovalor de L^2 com valor 2. Ou seja, a função é uma função harmônica esférica de momento angular total l = 1.

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