1. Um espelho esférico côncavo, que obedece às condições de Gauss, fornece, de um objeto colocado a NC cm de seu vértice, uma imagem virtual situada a 2 \underline{\mathrm{NC}} \mathrm{cm} do mesmo. Se utilizarmos esse espelho como refletor do farol de um carro, no qual os raios luminosos refletidos são paralelos, determine a distância entre o filamento da lâmpada e o vértice do espelho.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta.
Informações dadas:
  • Um espelho esférico côncavo, obedecendo às condições de Gauss.
  • Um objeto está colocado a \mathrm{NC} cm do vértice do espelho.
  • A imagem produzida por esse objeto é virtual e está situada a 2\mathrm{NC} cm do vértice (o enunciado escreve isso como 2\underline{\mathrm{NC}}\mathrm{cm}).
Pergunta:
  • Ao usar esse mesmo espelho como refletor de farol (situação em que os raios refletidos devem ser paralelos), qual deve ser a distância entre o filamento da lâmpada e o vértice do espelho?

Passo 2

Conceitos e fórmula que vamos usar (com explicação didática).
  • Para espelhos esféricos que obedecem às condições de Gauss podemos usar a equação dos espelhos:
\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q},
onde:
  • \,f é a distância focal (distância entre o vértice e o foco);
  • \,p é a distância do objeto ao vértice (também chamada de s ou d_o);
  • \,q é a distância da imagem ao vértice (também chamada de s' ou d_i).
  • Convenção de sinais (Gauss) que vamos usar, resumida e prática:
    • Para espelhos côncavos a distância focal \,f é positiva: \,f>0.
    • Um objeto real colocado na frente do espelho dá \,p>0.
    • Uma imagem virtual (formada atrás do espelho) corresponde a \,q<0 (ou seja, a coordenada da imagem é negativa).
  • Quando queremos que os raios refletidos saiam paralelos (como num farol), o filamento deve estar exatamente no foco do espelho. Logo a distância procurada é \,f.

Passo 3

Aplicar as informações do enunciado às variáveis da fórmula.
  • O enunciado diz que o objeto está a \mathrm{NC} cm do vértice, então:
p=\mathrm{NC}.
  • A imagem é virtual e está a 2\mathrm{NC} cm do vértice; por ser virtual, seu sinal é negativo na convenção de Gauss, portanto:
q=-2\mathrm{NC}.

Passo 4

Substituir p e q na equação dos espelhos e resolver para f.
  • Começamos da equação:
\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}.
  • Substituindo p=\mathrm{NC} e q=-2\mathrm{NC}:
\frac{1}{f}=\frac{1}{\mathrm{NC}}+\frac{1}{-2\mathrm{NC}}.

Passo 5

Fazer a conta com calma (passo a passo).
  • Primeiro calculemos a soma das frações:
\frac{1}{\mathrm{NC}}+\frac{1}{-2\mathrm{NC}}=\frac{1}{\mathrm{NC}}-\frac{1}{2\mathrm{NC}}.
  • Colocando sobre o mesmo denominador:
\frac{1}{\mathrm{NC}}-\frac{1}{2\mathrm{NC}}=\frac{2}{2\mathrm{NC}}-\frac{1}{2\mathrm{NC}}=\frac{1}{2\mathrm{NC}}.
  • Logo:
\frac{1}{f}=\frac{1}{2\mathrm{NC}}.
  • Invertendo para achar f:
f=2\mathrm{NC}.

Passo 6

Interpretação final e resposta ao problema do farol.
  • Para que os raios refletidos saiam paralelos, o filamento deve estar no foco. Portanto a distância entre o filamento e o vértice do espelho é exatamente a distância focal f que acabamos de calcular: f=2\mathrm{NC} cm.
  • Observação encorajadora: você não precisou de um número específico para \mathrm{NC}; a relação dada permitiu determinar f em função de \mathrm{NC}.

Resposta

\;2\mathrm{NC}\\ \mathrm{cm}

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