Um espelho esférico côncavo, que obedece às condições de Gauss, fornece, de um objeto colocado a NC cm de seu vértice, uma imagem virtual situada a 2 \underline{\mathrm{NC}} \mathrm{cm} do mesmo. Se utilizarmos esse espelho como refletor do farol de um carro, no qual os raios luminosos refletidos são paralelos, determine a distância entre o filamento da lâmpada e o vértice do espelho.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta.
Informações dadas:
Um espelho esférico côncavo, obedecendo às condições de Gauss.
Um objeto está colocado a \mathrm{NC} cm do vértice do espelho.
A imagem produzida por esse objeto é virtual e está situada a 2\mathrm{NC} cm do vértice (o enunciado escreve isso como 2\underline{\mathrm{NC}}\mathrm{cm}).
Pergunta:
Ao usar esse mesmo espelho como refletor de farol (situação em que os raios refletidos devem ser paralelos), qual deve ser a distância entre o filamento da lâmpada e o vértice do espelho?
Passo 2
Conceitos e fórmula que vamos usar (com explicação didática).
Para espelhos esféricos que obedecem às condições de Gauss podemos usar a equação dos espelhos:
\frac{1}{f}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q},
onde:
\,f é a distância focal (distância entre o vértice e o foco);
\,p é a distância do objeto ao vértice (também chamada de s ou d_o);
\,q é a distância da imagem ao vértice (também chamada de s' ou d_i).
Convenção de sinais (Gauss) que vamos usar, resumida e prática:
Para espelhos côncavos a distância focal \,f é positiva: \,f>0.
Um objeto real colocado na frente do espelho dá \,p>0.
Uma imagem virtual (formada atrás do espelho) corresponde a \,q<0 (ou seja, a coordenada da imagem é negativa).
Quando queremos que os raios refletidos saiam paralelos (como num farol), o filamento deve estar exatamente no foco do espelho. Logo a distância procurada é \,f.
Passo 3
Aplicar as informações do enunciado às variáveis da fórmula.
O enunciado diz que o objeto está a \mathrm{NC} cm do vértice, então:
p=\mathrm{NC}.
A imagem é virtual e está a 2\mathrm{NC} cm do vértice; por ser virtual, seu sinal é negativo na convenção de Gauss, portanto:
q=-2\mathrm{NC}.
Passo 4
Substituir p e q na equação dos espelhos e resolver para f.
Interpretação final e resposta ao problema do farol.
Para que os raios refletidos saiam paralelos, o filamento deve estar no foco. Portanto a distância entre o filamento e o vértice do espelho é exatamente a distância focal f que acabamos de calcular: f=2\mathrm{NC} cm.
Observação encorajadora: você não precisou de um número específico para \mathrm{NC}; a relação dada permitiu determinar f em função de \mathrm{NC}.