1. Um capacitor plano é formado por placas de área \mathrm{A}=\underline{\mathbf{N C}} \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{2} separadas por uma distância \mathrm{d}=\mathbf{M} \mathbf{A} \times 10^{-3} \mathrm{~m}, sendo o vácuo o meio entre as placas as quais estão ligadas a um gerador que mantém entre seus terminais uma tensão \mathrm{U}=\underline{\mathrm{DN}} \mathrm{V}. Adotando a permissividade do vácuo como \varepsilon_{0}=9 \times 10^{-12} \mathrm{~F} / \mathrm{m}, calcule:
    a) a capacitância desse capacitor
    b) a carga do capacitor

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular a capacitância do capacitor plano.
  2. Calcular a carga armazenada no capacitor.
As informações fornecidas são (copiando literalmente do enunciado):
A=\underline{\mathbf{N C}}\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^2
d=\mathbf{M}\mathbf{A}\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}
U=\underline{\mathrm{DN}}\\ \mathrm{V}
e \varepsilon_0=9\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
Observação importante: os símbolos \mathbf{N},\mathbf{C},\mathbf{M},\mathbf{A},\mathbf{D} representam algarismos (dígitos) que formam números de dois algarismos no enunciado. Esses dígitos não foram informados aqui. Por isso NÃO é possível obter um valor numérico final específico (em números) sem esses dígitos. Vou então:
  • Explicar passo a passo a teoria e o método para calcular capacitância e carga;
  • Escrever as expressões finais em termos desses dígitos (símbolos), que você poderá avaliar numericamente assim que souber os dígitos;
  • Mostrar um exemplo numérico hipotético para ilustrar como fazer as contas na prova.

Passo 2

Fórmula básica (a que você deve decorar e saber usar): a capacitância de um capacitor de placas paralelas preenchido com vácuo é
C=\varepsilon_0\frac{A}{d}.
Explicando cada símbolo:
  • \displaystyle C é a capacitância (unidade: \mathrm{F} — farad).
  • \displaystyle \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo (unidade: \mathrm{F/m}).
  • \displaystyle A é a área de cada placa (unidade: \mathrm{m}^2).
  • \displaystyle d é a separação entre as placas (unidade: \mathrm{m}).
Razão dimensional (verificação rápida): \varepsilon_0 tem unidade \mathrm{F/m} e A/d é adimensional em unidades de metro, então C fica em farads — coerente.
Para a carga, a relação entre carga, capacitância e tensão é
Q=C\,U,
onde \displaystyle Q é a carga (unidade: \mathrm{C} — coulomb) e \displaystyle U é a tensão aplicada (unidade: \mathrm{V}).

Passo 3

Vamos representar os dígitos do enunciado explicitamente para poder escrever expressões simbólicas (evito confundir o símbolo área A com o dígito que o enunciado também chama de \mathbf{A} — por isso uso subscrito nos dígitos):
Defina os dígitos
\displaystyle N_d,\\ C_d,\\ M_d,\\ A_d,\\ D_d (cada um é um inteiro entre 0 e 9). Então as quantidades dadas são:
A = (10N_d + C_d)\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}^2,
d = (10M_d + A_d)\times 10^{-3}\\ \mathrm{m},
U = (10D_d + N_d)\\ \mathrm{V}.
Observação útil: ambos A e d têm o fator 10^{-3} multiplicando um número de dois algarismos, então esse fator se cancela ao formar a razão A/d. Isso facilita os cálculos na prova.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da capacitância substituindo as expressões acima.
Substituindo:
C=\varepsilon_0\frac{A}{d} =\varepsilon_0\frac{(10N_d + C_d)\times 10^{-3}}{(10M_d + A_d)\times 10^{-3}}.
Os fatores 10^{-3} cancelam, então ficamos com a expressão simplificada
\boxed{C=\varepsilon_0\frac{10N_d + C_d}{10M_d + A_d}.}
Inserindo o valor numérico de \varepsilon_0 dado:
\boxed{C=9\times10^{-12}\,\frac{10N_d + C_d}{10M_d + A_d}\\ \mathrm{F}.}
Comentário didático: isso é bem prático — você só precisa formar os dois números de dois algarismos (um vindo da área, outro da distância) e calcular a fração entre eles, multiplicando por 9\times10^{-12}. Na prova faça essas contas de cabeça ou com papel: reduza frações sempre que possível.

Passo 5

Agora a carga Q. Usando Q=C\,U e as expressões para C e U:
Q=\left(9\times10^{-12}\frac{10N_d + C_d}{10M_d + A_d}\right)\cdot(10D_d + N_d).
Portanto
\boxed{Q=9\times10^{-12}\,\frac{(10N_d + C_d)(10D_d + N_d)}{10M_d + A_d}\\ \mathrm{C}.}
Observação de unidades: o fator é em farads vezes volts, que dá coulombs — está consistente.

Passo 6

Exemplo numérico (hipotético) para você ver o passo a passo com números concretos — isto é só um exemplo, os dígitos abaixo foram escolhidos arbitrariamente para ilustrar o método:
Escolha de exemplo: N_d=1,\\ C_d=2,\\ M_d=3,\\ A_d=4,\\ D_d=5.
Passos:
A=(10\cdot1+2)\times10^{-3}=12\times10^{-3}=0{,}012\\ \mathrm{m}^2,
d=(10\cdot3+4)\times10^{-3}=34\times10^{-3}=0{,}034\\ \mathrm{m},
U=10\cdot5+1=51\\ \mathrm{V}.
Capacitância:
C=9\times10^{-12}\frac{12}{34}=9\times10^{-12}\frac{6}{17}=\frac{54}{17}\times10^{-12}\\ \mathrm{F}\approx3{,}1764706\times10^{-12}\\ \mathrm{F}.
Carga:
Q=C\,U=\left(\frac{54}{17}\times10^{-12}\right)\cdot51=\frac{54\cdot51}{17}\times10^{-12}=\frac{2754}{17}\times10^{-12}=162\times10^{-12}\\ \mathrm{C}=1{,}62\times10^{-10}\\ \mathrm{C}.
Isso mostra claramente como proceder: formar os números de dois algarismos, simplificar frações quando possível, multiplicar por 9\times10^{-12}, e por fim multiplicar por U para obter Q.

Passo 7

Resumo prático para a prova (passo a passo que você aplica quando tiver os dígitos):
  1. Forme o número de 2 algarismos da área: 10N_d + C_d.
  2. Forme o número de 2 algarismos da distância: 10M_d + A_d.
  3. Calcule C=9\times10^{-12}\dfrac{10N_d + C_d}{10M_d + A_d} (F).
  4. Forme a tensão U=10D_d + N_d e calcule Q=C\,U.
Você consegue — respira fundo, segue esse roteiro e faz as contas com calma. Boa sorte na prova!

Resposta

\text{(a) }C=9\times10^{-12}\,\frac{10N_d + C_d}{10M_d + A_d}\\ \mathrm{F}
\text{(b) }Q=9\times10^{-12}\,\frac{(10N_d + C_d)(10D_d + N_d)}{10M_d + A_d}\\ \mathrm{C}

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