Um espelho do lado do passageiro de um carro é convexo e possui um raio de curvatura cujo valor absoluto é 18,0 \mathrm{~cm}. (a) Outro carro é visto nesse espelho e está a uma distância de 13,0 m atrás do espelho. Se a altura deste carro é 1,5 \mathrm{~m}, qual é a altura da imagem? (b) O fabricante do espelho avisa que os objetos parecem mais próximos do que parecem. Por que isto ocorre?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Dados (peguei estes valores do enunciado):
    • Raio de curvatura (valor absoluto): |R| = 18{,}0\\ \text{cm}.
    • Distância do outro carro ao espelho: d_o = 13{,}0\\ \text{m}.
    • Altura do outro carro: h_o = 1{,}5\\ \text{m}.
  • Perguntas:
    (a) Qual é a altura da imagem h_i formada pelo espelho convexo?
    (b) Por que o fabricante diz que “os objetos parecem mais próximos do que parecem”?
Observações úteis para organização (conversão de unidades que vou usar):
  • Vou trabalhar em centímetros para usar o mesmo sistema de unidades do raio. Assim: d_o = 13{,}0\\ \text{m} = 1300\\ \text{cm},\qquad h_o = 1{,}5\\ \text{m} = 150\\ \text{cm}.

Passo 2

Entender a convenção de sinais e as fórmulas que vamos usar (explicação didática e direta).
  • Espelho convexo: sua superfície reflete fazendo os raios refletidos parecerem divergir de um ponto atrás do espelho. Isso implica que a distância focal é negativa. O centro de curvatura fica “atrás” do espelho no sentido do interior do vidro visto pelo observador, então tomamos
    R = -18{,}0\\ \text{cm}.
    A distância focal f de um espelho esférico é relacionada ao raio por
    f=\frac{R}{2}.
    Portanto, para este espelho convexo:
    f=\frac{-18{,}0}{2}=-9{,}0\\ \text{cm}.
    (Explicando em palavras: o sinal negativo em f indica que o foco está do outro lado do espelho, característico do espelho convexo.)
  • Fórmula que liga distâncias (fórmula do espelho esférico):
    \frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i},
    onde
    • \,d_o é a distância do objeto ao espelho (positiva quando o objeto está na frente do espelho),
    • \,d_i é a distância da imagem ao espelho (positivo se a imagem for real e estiver na frente do espelho; negativo se virtual e estiver “atrás” do espelho).
  • Fórmula da ampliação (magnificação), que relaciona alturas e distâncias:
    m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{d_i}{d_o},
    onde
    • m é adimensional; se m>0 a imagem é direita (não invertida), se m<0 é invertida. O valor absoluto |m| é o fator de redução/ampliação da altura.
Essas são as fórmulas que vou aplicar passo a passo.

Passo 3

Calcular a posição da imagem d_i usando a equação do espelho.
Começo substituindo os valores numéricos na equação
\frac{1}{f}=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}.
Isolando d_i:
\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}-\frac{1}{d_o}.
Substituindo f=-9{,}0\\ \text{cm} e d_o=1300\\ \text{cm}:
\frac{1}{d_i}=\frac{1}{-9{,}0}-\frac{1}{1300}.
Calculo numérico (mostrando as contas):
\frac{1}{-9{,}0}=-0{,}111111\ldots\\ (\text{cm}^{-1}), \qquad \frac{1}{1300}=0{,}00076923077\ldots\\ (\text{cm}^{-1}).
Portanto
\frac{1}{d_i}=-0{,}111111\ldots-0{,}00076923077\ldots=-0{,}1118803\ldots
e assim
d_i=\frac{1}{-0{,}1118803\ldots}\approx -8{,}94\\ \text{cm}.
Interpretação física deste resultado:
  • d_i é negativo, o que significa que a imagem é virtual e está localizada “atrás” do espelho (característica típica de espelhos convexos).
  • Em módulo, |d_i|\approx 8{,}94\\ \text{cm}, muito menor que a distância do objeto (1300 cm), ou seja, a imagem é formada bem perto do espelho e muito reduzida.

Passo 4

Calcular a altura da imagem h_i usando a ampliação.
Usamos
m=\frac{h_i}{h_o}=-\frac{d_i}{d_o}.
Isolando h_i:
h_i = h_o\left(-\frac{d_i}{d_o}\right).
Substituindo h_o=150\\ \text{cm}, d_i=-8{,}94\\ \text{cm} e d_o=1300\\ \text{cm}:
h_i = 150\cdot\left(-\frac{-8{,}94}{1300}\right)=150\cdot\frac{8{,}94}{1300}.
Calculemos:
\frac{8{,}94}{1300}\approx 0{,}0068769,\qquad 150\cdot 0{,}0068769\approx 1{,}0315\\ \text{cm}.
Portanto
h_i\approx 1{,}03\\ \text{cm}.
Convertendo de volta para metros (opcional, para comparar com a altura dada):
h_i\approx 0{,}0103\\ \text{m}.
Interpretação:
  • O sinal de h_i é positivo (já que m>0), então a imagem é direita (não invertida).
  • A imagem é muito menor que o objeto (150 cm → 1,03 cm), ou seja, muito reduzida.

Passo 5

Explicação conceitual e resposta para a parte (b) — por que o fabricante adverte que “os objetos parecem mais próximos do que parecem”.
  • Um espelho convexo produz imagens virtuais que são sempre:
    • direitas (não invertidas),
    • reduzidas em tamanho,
    • localizadas atrás do espelho a uma distância |d_i| muito menor do que a distância real do objeto d_o.
  • Por que isso faz parecer que o objeto está mais próximo?
    • O cérebro usa pistas de tamanho aparente para estimar distância: se um objeto conhecido aparece menor no espelho, o cérebro tende a interpretá‑lo como estando mais longe ou mais perto dependendo do contexto. No caso do espelho convexo, a imagem reduzida e localizada relativamente perto do espelho faz com que a interpretação direta não corresponda à distância real — ao olhar rápido, o observador subestima a distância real do objeto (ou seja, pensa que está mais próximo do que realmente está). Resumindo de forma direta: o espelho diminui o tamanho da imagem e fabrica uma imagem virtual situada perto do espelho, portanto a percepção de distância fica enganada.
  • Outro ponto prático: como o espelho aumenta o campo de visão, ele mostra mais objetos (boa coisa), mas cada objeto aparece menor e “virtualmente” mais próximo, daí o aviso do fabricante — para alertar sobre risco de julgar errado a distância real dos veículos atrás.

Resposta

(a) h_i\approx 1{,}03\\ \text{cm} \approx 0{,}0103\\ \text{m}
(b) Porque espelhos convexos formam imagens virtuais, direitas e muito reduzidas localizadas atrás do espelho; essa redução e posição virtual fazem com que o observador subestime a distância do objeto (parece mais próximo do que realmente está).

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