Uma espira circular de raio R e corrente i tem o momento de dipolo orientado na direção \hat{n}= (\hat{\imath}+\hat{\jmath}+\hat{k}) / \sqrt{3}. Nessa região o vetor campo magnético é uniforme e é dado por \vec{B}=B_{x} \hat{\imath}+B_{y} \hat{\jmath}+B_{z} \hat{k}. Qual o torque \vec{\tau} sobre a espira?
(A) \vec{\tau}=\frac{i \pi R^{2}}{\sqrt{3}}\left[-\left(B_{z}-B_{y}\right) \hat{\imath}+\left(B_{x}-B_{z}\right) \hat{\jmath}+\left(B_{y}-B_{x}\right) \hat{k}\right]
(B) \vec{\tau}=\frac{i \pi R^{2}}{\sqrt{3}}\left[\left(B_{z}-B_{y}\right) \hat{\imath}+\left(B_{x}-B_{z}\right) \hat{\jmath}-\left(B_{y}-B_{x}\right) \hat{k}\right]
(C) \vec{\tau}=\frac{i \pi R^{2}}{\sqrt{3}}\left[\left(B_{z}-B_{x}\right) \hat{\imath}+\left(B_{x}-B_{y}\right) \hat{\jmath}+\left(B_{y}-B_{z}\right) \hat{k}\right]
(D) \vec{\tau}=\frac{i \pi R^{2}}{\sqrt{3}}\left[\left(B_{z}-B_{y}\right) \hat{\imath}-\left(B_{x}-B_{z}\right) \hat{\jmath}+\left(B_{y}-B_{x}\right) \hat{k}\right]
(E) \vec{\tau}=\frac{i \pi R^{2}}{\sqrt{3}}\left[\left(B_{z}-B_{y}\right) \hat{\imath}+\left(B_{x}-B_{z}\right) \hat{\jmath}+\left(B_{y}-B_{x}\right) \hat{k}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Uma espira circular de raio R com corrente i.
  • O momento de dipolo magnético da espira está orientado na direção \hat{n}=\dfrac{\hat{\imath}+\hat{\jmath}+\hat{k}}{\sqrt{3}}.
  • O campo magnético uniforme na região é \vec{B}=B_{x}\hat{\imath}+B_{y}\hat{\jmath}+B_{z}\hat{k}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar o torque \vec{\tau} sobre a espira (escolher a alternativa correta).

Passo 2

Lembrete físico e fórmula do momento magnético:
  • Para uma espira circular com corrente i e área A, o momento magnético é
\vec{\mu}=iA\hat{n}.
  • A área da espira é A=\pi R^{2}. Assim
\vec{\mu}=i\pi R^{2}\,\hat{n}.
Explicação didática: \vec{\mu} tem direção dada pelo eixo da espira (regra da mão direita: polegar aponta para \hat{n} se os dedos seguem a corrente) e módulo iA.

Passo 3

Fórmula do torque sobre um dipolo magnético num campo magnético uniforme:
\vec{\tau}=\vec{\mu}\times\vec{B}.
Explicação didática do produto vetorial:
  • Se \vec{a}=(a_x,a_y,a_z) e \vec{b}=(b_x,b_y,b_z) então
\vec{a}\times\vec{b}=\bigl(a_y b_z - a_z b_y\bigr)\hat{\imath}+\bigl(a_z b_x - a_x b_z\bigr)\hat{\jmath}+\bigl(a_x b_y - a_y b_x\bigr)\hat{k}.
  • O produto vetorial produz um vetor perpendicular aos dois, com módulo |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta, mas aqui usaremos a fórmula componente a componente (mais direta para prova).

Passo 4

Calcular \vec{\tau} componente a componente.
  • Primeiro escrevemos \vec{\mu} em componentes usando \hat{n}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1):
\vec{\mu}=i\pi R^{2}\,\frac{1}{\sqrt{3}}\bigl(1,1,1\bigr).
  • Aplicando a fórmula do produto vetorial \vec{\tau}=\vec{\mu}\times\vec{B}, com \vec{B}=(B_x,B_y,B_z), temos
\vec{\tau}= i\pi R^{2}\,\frac{1}{\sqrt{3}}\Bigl[ \bigl(1\cdot B_{z}-1\cdot B_{y}\bigr)\hat{\imath} +\bigl(1\cdot B_{x}-1\cdot B_{z}\bigr)\hat{\jmath} +\bigl(1\cdot B_{y}-1\cdot B_{x}\bigr)\hat{k} \Bigr].
  • Simplificando os termos dentro dos parênteses:
\vec{\tau}=\frac{i\pi R^{2}}{\sqrt{3}}\Bigl[ \bigl(B_{z}-B_{y}\bigr)\hat{\imath} +\bigl(B_{x}-B_{z}\bigr)\hat{\jmath} +\bigl(B_{y}-B_{x}\bigr)\hat{k} \Bigr].

Passo 5

Comparando com as alternativas fornecidas, a expressão encontrada corresponde exatamente à alternativa (E).

Resposta

(E) \vec{\tau}=\dfrac{i \pi R^{2}}{\sqrt{3}}\bigl[(B_{z}-B_{y})\hat{\imath}+(B_{x}-B_{z})\hat{\jmath}+(B_{y}-B_{x})\hat{k}\bigr]

Exercícios relacionados