Numa dada região do espaço o campo elétrico e o campo magnético são uniformes. A velocidade de um elétron é dada por \vec{v}=(2 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}+\hat{k}) \mathrm{km} / \mathrm{s} e é invariante no tempo. O campo magnético é dado por \vec{B}=(\hat{\imath}+\hat{\jmath}) T. Qual o campo elétrico?
(A) \vec{E}=(\hat{\imath}+\hat{\jmath}+2 \hat{k}) k V / m \hat{k}.
(B) \vec{E}=(-\hat{\imath}+\hat{\jmath}) k V / m \hat{k}.
(C) \vec{E}=(\hat{\imath}+\hat{\jmath}) k V / m \hat{k}.
(D) \vec{E}=(\hat{\imath}+\hat{\jmath}+\hat{k}) k V / m \hat{k}.
(E) \vec{E}=(\hat{\imath}-\hat{\jmath}) k V / m \hat{k}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma resposta entre as alternativas:
  • Velocidade do elétron: \vec{v}=(2\hat{\imath}+2\hat{\jmath}+\hat{k})\\ \mathrm{km/s}.
  • Campo magnético: \vec{B}=(\hat{\imath}+\hat{\jmath})\\ \mathrm{T}.
  • Os campos \vec{E} e \vec{B} são uniformes na região.
  • A velocidade do elétron é invariante no tempo (ou seja, \vec{v} é constante).
    O que se pede: determinar qual é o campo elétrico \vec{E} entre as alternativas (A)–(E).

Passo 2

Condição física que vamos usar (explicada passo a passo):
  • Quando uma partícula carregada se move num campo elétrico e magnético, a força sobre ela é dada pela fórmula
\vec{F}=q\bigl(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\bigr),
onde q é a carga da partícula (para o elétron q=-e, mas o sinal não precisa ser usado explicitamente agora). Nesta fórmula:
  • \vec{F} é a força total (em N),
  • \vec{E} é o campo elétrico (em V/m),
  • \vec{v} é a velocidade da partícula (em m/s),
  • \vec{B} é o campo magnético (em T),
  • \vec{v}\times\vec{B} é o produto vetorial entre \vec{v} e \vec{B}.
  • Se a velocidade da partícula é constante no tempo, a aceleração é zero e, portanto, a força resultante é nula: \vec{F}=\vec{0}.
  • Substituindo isso na expressão da força e dividindo por q (que é diferente de zero), obtemos a condição que relaciona \vec{E}, \vec{v} e \vec{B}:
\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B} = \vec{0}.
  • Assim,
\vec{E} = -\,\vec{v}\times\vec{B}.
Essa é a relação que vamos aplicar.

Passo 3

Cuidados com unidades (muito prático para a prova):
  • A unidade de \vec{v} no enunciado é \mathrm{km/s}. Note que 1\\ \mathrm{km/s}\times 1\\ \mathrm{T}=10^{3}\\ \mathrm{V/m}=1\\ \mathrm{kV/m}. Logo é conveniente calcular o produto vetorial usando os componentes numéricos em \mathrm{km/s}; o resultado será em \mathrm{kV/m}.
  • Portanto vamos calcular \vec{v}\times\vec{B} usando \vec{v}=(2,2,1) (em \mathrm{km/s}) e \vec{B}=(1,1,0) (em T). O produto vetorial componente a componente é dado por
\vec{v}\times\vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k}\\[4pt] v_x & v_y & v_z\\[4pt] B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}.
Calculando cada componente:
(\vec{v}\times\vec{B})_x = v_y B_z - v_z B_y = 2\cdot 0 - 1\cdot 1 = -1,
(\vec{v}\times\vec{B})_y = v_z B_x - v_x B_z = 1\cdot 1 - 2\cdot 0 = 1,
(\vec{v}\times\vec{B})_z = v_x B_y - v_y B_x = 2\cdot 1 - 2\cdot 1 = 0.
Portanto
\vec{v}\times\vec{B}=(-1)\hat{\imath}+1\hat{\jmath}+0\hat{k}=(-\hat{\imath}+\hat{\jmath}).
Lembrando a unidade: esse resultado está em \mathrm{kV/m}, pois usamos \mathrm{km/s} para \vec{v}.]

Passo 4

Agora aplicamos \vec{E}=-\,\vec{v}\times\vec{B}:
\vec{E} = -\bigl(-\hat{\imath}+\hat{\jmath}\bigr)=\hat{\imath}-\hat{\jmath}.
Incluindo a unidade obtida no passo anterior, o campo elétrico é
\vec{E}=(\hat{\imath}-\hat{\jmath})\\ \mathrm{kV/m}.
(Se preferir em V/m, multiplicar por 10^{3}: \vec{E}=(1000\hat{\imath}-1000\hat{\jmath})\\ \mathrm{V/m}.)

Passo 5

Comparando com as alternativas fornecidas, a que coincide com \vec{E}=(\hat{\imath}-\hat{\jmath})\\ \mathrm{kV/m} é a alternativa (E).

Resposta

(E) \vec{E}=(\hat{\imath}-\hat{\jmath})\\ \mathrm{kV/m}

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