Numa dada região do espaço o campo elétrico e o campo magnético são uniformes. A velocidade de um elétron é dada por \vec{v}=(2 \hat{\imath}+2 \hat{\jmath}+\hat{k}) \mathrm{km} / \mathrm{s} e é invariante no tempo. O campo magnético é dado por \vec{B}=(\hat{\imath}+\hat{\jmath}) T. Qual o campo elétrico?
(A) \vec{E}=(\hat{\imath}+\hat{\jmath}+2 \hat{k}) k V / m \hat{k}.
(B) \vec{E}=(-\hat{\imath}+\hat{\jmath}) k V / m \hat{k}.
(C) \vec{E}=(\hat{\imath}+\hat{\jmath}) k V / m \hat{k}.
(D) \vec{E}=(\hat{\imath}+\hat{\jmath}+\hat{k}) k V / m \hat{k}.
(E) \vec{E}=(\hat{\imath}-\hat{\jmath}) k V / m \hat{k}.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma resposta entre as alternativas:
Velocidade do elétron: \vec{v}=(2\hat{\imath}+2\hat{\jmath}+\hat{k})\\ \mathrm{km/s}.
Campo magnético: \vec{B}=(\hat{\imath}+\hat{\jmath})\\ \mathrm{T}.
Os campos \vec{E} e \vec{B} são uniformes na região.
A velocidade do elétron é invariante no tempo (ou seja, \vec{v} é constante).
O que se pede: determinar qual é o campo elétrico \vec{E} entre as alternativas (A)–(E).
Passo 2
Condição física que vamos usar (explicada passo a passo):
Quando uma partícula carregada se move num campo elétrico e magnético, a força sobre ela é dada pela fórmula
onde q é a carga da partícula (para o elétron q=-e, mas o sinal não precisa ser usado explicitamente agora). Nesta fórmula:
\vec{F} é a força total (em N),
\vec{E} é o campo elétrico (em V/m),
\vec{v} é a velocidade da partícula (em m/s),
\vec{B} é o campo magnético (em T),
\vec{v}\times\vec{B} é o produto vetorial entre \vec{v} e \vec{B}.
Se a velocidade da partícula é constante no tempo, a aceleração é zero e, portanto, a força resultante é nula: \vec{F}=\vec{0}.
Substituindo isso na expressão da força e dividindo por q (que é diferente de zero), obtemos a condição que relaciona \vec{E}, \vec{v} e \vec{B}:
\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B} = \vec{0}.
Assim,
\vec{E} = -\,\vec{v}\times\vec{B}.
Essa é a relação que vamos aplicar.
Passo 3
Cuidados com unidades (muito prático para a prova):
A unidade de \vec{v} no enunciado é \mathrm{km/s}. Note que 1\\ \mathrm{km/s}\times 1\\ \mathrm{T}=10^{3}\\ \mathrm{V/m}=1\\ \mathrm{kV/m}. Logo é conveniente calcular o produto vetorial usando os componentes numéricos em \mathrm{km/s}; o resultado será em \mathrm{kV/m}.
Portanto vamos calcular \vec{v}\times\vec{B} usando \vec{v}=(2,2,1) (em \mathrm{km/s}) e \vec{B}=(1,1,0) (em T). O produto vetorial componente a componente é dado por