Uma casca cilíndrica delgada muito longa tem densidade superficial de carga \sigma. A casa tem raio R e gira em torno de seu eixo de simetria (eixo z ) com frequência angular \omega. Qual a densidade linear de corrente \kappa na superfície da casca? Qual o campo magnético B_{z} no interior da casca?
(A) \kappa=\sigma \omega R^{2}, B_{z}=\mu_{0} \sigma \omega R^{2}.
(B) \kappa=\sigma \omega R, B_{z}=2 \mu_{0} \sigma \omega R.
(C) \kappa=2 \sigma \omega R, B_{z}=2 \mu_{0} \sigma \omega R.
(D) \kappa=\sigma \omega R / 2, B_{z}=\mu_{0} \sigma \omega R / 2.
(E) \kappa=\sigma \omega R, B_{z}=\mu_{0} \sigma \omega R.

Passo 1

O enunciado dá uma casca cilíndrica delgada, muito longa, de raio \;R\; com densidade superficial de carga \;\sigma\;. A casca gira em torno do eixo z com frequência angular \;\omega\;. Pede-se:
  • a densidade linear de corrente \kappa na superfície da casca;
  • o campo magnético \;B_{z}\; no interior da casca (no eixo e em qualquer ponto com r<R, pela simetria).
Informações relevantes (extraídas do enunciado):
  • carga superficial: \sigma (unidade \text{C}/\text{m}^2);
  • raio da casca: R;
  • velocidade angular: \omega.

Passo 2

Velocidade tangencial dos portadores de carga na casca.
  • Cada carga na casca descreve movimento circular com raio R. A velocidade tangencial (linear) vale
v=\omega R.
Explicação intuitiva: \omega é rad/s; multiplicando por R obtém-se metros por segundo.

Passo 3

Definição e cálculo da densidade de corrente superficial \mathbf{K}.
  • Quando uma superfície com densidade de carga \sigma se move com velocidade \mathbf{v}, surge uma densidade de corrente superficial (corrente por unidade de comprimento na direção tangencial) dada por
\mathbf{K}=\sigma \mathbf{v}.
  • Aqui a direção de \mathbf{K} é azimutal ( \hat\varphi) e o módulo é
K=\sigma v=\sigma \omega R.
Comentário sobre unidades: \sigma tem \text{C}/\text{m}^2, v tem \text{m}/\text{s}, logo K tem \text{A}/\text{m} (corrente por unidade de comprimento ao longo do eixo z).

Passo 4

Interpretação física e relação entre K e a densidade linear de corrente \kappa.
  • Considere uma faixa da casca de altura \mathrm{d}z. A carga contida nessa faixa é
\mathrm{d}Q=\sigma\cdot(2\pi R)\,\mathrm{d}z.
  • Essa carga está descrevendo rotações com frequência f=\omega/(2\pi), portanto a corrente elétrica associada àquela faixa (um laço) é
\mathrm{d}I=\mathrm{d}Q\cdot f=\sigma(2\pi R)\,\mathrm{d}z\cdot\frac{\omega}{2\pi}=\sigma\omega R\,\mathrm{d}z.
  • A densidade linear de corrente \kappa é definida como corrente por unidade de comprimento ao longo do eixo (ou seja \kappa=\mathrm{d}I/\mathrm{d}z). Assim
\kappa=\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}z}=\sigma\omega R.
  • Observação: isto coincide com o valor de K que calculamos no passo anterior; ambos representam a mesma quantidade física (corrente por unidade de comprimento na direção z).

Passo 5

Cálculo do campo magnético interior \;B_{z}\; usando a Lei de Ampère.
  • Simetria: para uma casca cilíndrica muito longa com corrente azimutal uniforme, o campo magnético resultante é ao longo do eixo ( \hat z) e depende só de r. Tome um laço amperiano retangular no plano r- z com comprimento L na direção z, com um lado dentro ( r<R) e o outro fora ( r>R).
  • A Lei de Ampère (forma integral) é
\oint \mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{l}=\mu_{0} I_{\text{enc}}.
  • Apenas os segmentos paralelos a z contribuem, então o contorno dá
\bigl(B_{z}(r<R)-B_{z}(r>R)\bigr)\,L=\mu_{0} I_{\text{enc}}.
  • O corrente encerrada é a corrente que atravessa a superfície do retângulo; se o raio R está entre os dois valores de r, a corrente atravessada por unidade de comprimento é \kappa=K=\sigma\omega R. Assim I_{\text{enc}}=\kappa L.
  • Se tomarmos r>R muito longe, B_{z}(r>R)\to 0 (campo externo tende a zero para casca infinita com corrente puramente azimutal). Logo
B_{z}(r<R)=\mu_{0}\kappa.
  • Substituindo \kappa=\sigma\omega R obtém-se
B_{z}=\mu_{0}\sigma\omega R\qquad\text{(para todo \(r<R\)).}

Passo 6

Resumo final e escolha entre as alternativas.
  • Encontramos
\kappa=\sigma\omega R, \qquad B_{z}=\mu_{0}\sigma\omega R.
  • Isso corresponde à alternativa (E).

Resposta

(E) \kappa=\sigma \omega R,\; B_{z}=\mu_{0}\sigma \omega R

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