Uma casca cilíndrica delgada muito longa tem densidade superficial de carga
. A casa tem raio
e gira em torno de seu eixo de simetria (eixo
) com frequência angular
. Qual a densidade linear de corrente
na superfície da casca? Qual o campo magnético
no interior da casca?
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E)
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá uma casca cilíndrica delgada, muito longa, de raio
com densidade superficial de carga
. A casca gira em torno do eixo
com frequência angular
. Pede-se:
- a densidade linear de corrente
na superfície da casca; - o campo magnético
no interior da casca (no eixo e em qualquer ponto com , pela simetria).
Informações relevantes (extraídas do enunciado):
- carga superficial:
(unidade ); - raio da casca:
; - velocidade angular:
.
Passo 2
Velocidade tangencial dos portadores de carga na casca.
- Cada carga na casca descreve movimento circular com raio
. A velocidade tangencial (linear) vale
Explicação intuitiva:
é rad/s; multiplicando por
obtém-se metros por segundo.
Passo 3
Definição e cálculo da densidade de corrente superficial
.
- Quando uma superfície com densidade de carga
se move com velocidade , surge uma densidade de corrente superficial (corrente por unidade de comprimento na direção tangencial) dada por
- Aqui a direção de
é azimutal ( ) e o módulo é
Comentário sobre unidades:
tem
,
tem
, logo
tem
(corrente por unidade de comprimento ao longo do eixo
).
Passo 4
Interpretação física e relação entre
e a densidade linear de corrente
.
- Considere uma faixa da casca de altura
. A carga contida nessa faixa é
- Essa carga está descrevendo rotações com frequência
, portanto a corrente elétrica associada àquela faixa (um laço) é
- A densidade linear de corrente
é definida como corrente por unidade de comprimento ao longo do eixo (ou seja ). Assim
- Observação: isto coincide com o valor de
que calculamos no passo anterior; ambos representam a mesma quantidade física (corrente por unidade de comprimento na direção ).
Passo 5
Cálculo do campo magnético interior
usando a Lei de Ampère.
- Simetria: para uma casca cilíndrica muito longa com corrente azimutal uniforme, o campo magnético resultante é ao longo do eixo (
) e depende só de . Tome um laço amperiano retangular no plano - com comprimento na direção , com um lado dentro ( ) e o outro fora ( ). - A Lei de Ampère (forma integral) é
- Apenas os segmentos paralelos a
contribuem, então o contorno dá
- O corrente encerrada é a corrente que atravessa a superfície do retângulo; se o raio
está entre os dois valores de , a corrente atravessada por unidade de comprimento é . Assim . - Se tomarmos
muito longe, (campo externo tende a zero para casca infinita com corrente puramente azimutal). Logo
- Substituindo
obtém-se
Passo 6
Resumo final e escolha entre as alternativas.
- Encontramos
- Isso corresponde à alternativa (E).
Resposta
(E)