Uma espira plana, de área A, é colocada em uma regiāo onde o campo magnético faz um ângulo w com a normal ao plano e tem a mesma magnitude em todos os pontos dentro da área a qualquer instante. A magnitude do campo magnético varia com o tempo de acordo com a expressão B=B m e^{-a t} . A força eletromotriz induzida na espira em função do tempo é:
□ -aBmcoswexp(-at)
□ Bmcoswexp(-at)
□ ABmcoswexp(-2at)
□ aABmcoswexp(-at)

Passo 1

O enunciado pede a força eletromotriz induzida na espira em função do tempo. Informações dadas:
  • A espira é plana e tem área A.
  • O campo magnético tem magnitude igual em toda a área e varia no tempo segundo \;B(t)=B_{m}e^{-a t}\;.
  • O campo forma um ângulo \omega com a normal ao plano da espira (ou seja, o cosseno do ângulo entre \vec{B} e a normal é \cos\omega).
  • Quer-se a expressão da força eletromotriz induzida (função do tempo).
    Não há imagens ou dados extras.

Passo 2

Entendendo fluxo magnético: o fluxo magnético através da espira é a quantidade que mede quantas linhas de campo atravessam a área. Para um campo uniforme e plano com ângulo \omega entre o campo e a normal ao plano, o fluxo \Phi é dado por
\Phi = A \, B \, \cos\omega.
Aqui:
  • \Phi é o fluxo magnético (unidade: weber, \text{Wb});
  • A é a área da espira;
  • B é a magnitude do campo magnético atravessando a espira;
  • \cos\omega projeta o campo sobre a normal da espira (se \omega=0 o campo é perpendicular ao plano e produz máximo fluxo).

Passo 3

Substituindo a dependência temporal do campo \;B(t)=B_{m}e^{-a t}\; na fórmula do fluxo, obtemos a expressão do fluxo em função do tempo:
\Phi(t)=A\;B_{m}\;e^{-a t}\;\cos\omega.
Explicando cada termo: \;B_{m}e^{-a t}\; é o valor do campo no instante t, multiplicado por A e por \cos\omega para dar o fluxo.

Passo 4

Calcular a derivada temporal do fluxo. Usamos a regra da derivada do exponencial: \dfrac{d}{dt}e^{-a t}=-a e^{-a t}. Então
\frac{d\Phi}{dt}=A\;B_{m}\;\cos\omega\;\frac{d}{dt}\bigl(e^{-a t}\bigr) = A\;B_{m}\;\cos\omega\;(-a e^{-a t}) = -a A B_{m}\cos\omega\;e^{-a t}.

Passo 5

Aplicar a lei de Faraday para força eletromotriz induzida. A lei diz:
\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt}.
Substituindo \dfrac{d\Phi}{dt}=-a A B_{m}\cos\omega\;e^{-a t} vem
\mathcal{E} = -\bigl(-a A B_{m}\cos\omega\;e^{-a t}\bigr) = a A B_{m}\cos\omega\;e^{-a t}.
Comentário físico rápido e motivador: o sinal (negativo da lei) indica a direção da fem (Lenz), mas a expressão acima dá o módulo e o valor algébrico da fem em função do tempo.

Resposta

\mathcal{E}(t)=a\,A\,B_{m}\cos\omega\;e^{-a t}

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