Dois blocos viajam da esquerda para a direita. O bloco 1 encontrase à esquerda do bloco 2 e tem uma velocidade que é o dobro da do bloco 2. Após uma colisão elástica, o bloco 1 retorna com uma velocidade que, em módulo, é novamente o dobro da do bloco 2 . Determine a razão
entre as massas dos dois blocos.
Passo 1
O enunciado (resumido, com as informações que vamos usar) dá:
- Dois blocos viajam da esquerda para a direita antes da colisão.
- O bloco 1 está à esquerda do bloco 2 e tem velocidade duas vezes a do bloco 2 antes da colisão. Vou escrever isso como
. Defino então . - A colisão é elástica (energia cinética e momento linear são conservados).
- Após a colisão, o bloco 1 retorna (ou seja, sua velocidade final é para a esquerda,
) e, em módulo, sua velocidade é novamente o dobro da do bloco 2 após a colisão: . - Pergunta: determinar a razão
entre as massas.
Passo 2
Escolho convenções claras de sinais e incógnitas:
- Antes:
e , com (ambos para a direita). - Depois: denoto as velocidades finais por
e . Como o enunciado diz que o bloco 1 retorna, vou impor . - A condição de módulo pode ser escrita dependendo do sinal de
. Vou considerar explicitamente as duas possibilidades para o sinal de (positivo ou negativo), porque tem interpretações de sinal diferentes em cada caso.
Antes de testar os casos, escrevo as equações que valem para qualquer colisão elástica unidimensional.
Passo 3
Conservação do momento linear (antes = depois):
Conservação da energia cinética (antes = depois):
Explico cada símbolo:
são as massas;
são velocidades antes;
são velocidades depois. As equações acima aplicam-se isoladamente ao sistema de duas partículas em colisão elástica.
Agora substituo
e
nas equações (cancelo o fator
na equação de energia):
Passo 4
Trato o caso 1: suponha que, após a colisão, o bloco 2 continua para a direita (
).
Então e como
e
temos
Então
Substituo
na equação de energia:
Agrupando:
Como
(massas positivas), segue
Pelo caso assumido
então
. Voltando à conservação do momento:
Cancelando
(não nulo):
o que implica
, impossível para uma massa física positiva. Logo não existe solução física neste caso.
Passo 5
Trato o caso 2: suponha que, após a colisão, o bloco 2 também volte para a esquerda (
).
Então e
com
implica
Então
Substituo
na equação de energia:
que leva à mesma condição
Como agora assumimos
fica
. Uso isso na conservação do momento:
Dividindo por
:
isto dá
, o que implica massa negativa para um dos blocos (impossível fisicamente) ou ambas nulas. Portanto esse caso também não fornece uma solução física.
Passo 6
Como analisado, as duas possibilidades de sinal de
(positiva ou negativa) levam a contradições quando se exigem ao mesmo tempo:
- que antes da colisão
, - que a colisão seja elástica (conserva momento e energia),
- e que após a colisão
tenha sentido oposto (retorna) e .
Em termos algébricos a conservação da energia força
, e a conservação do momento então leva a condições impossíveis (
ou massas negativas). Portanto não existe razão de massas positiva e finita
que satisfaça todas as condições do enunciado.
Intuição curta: pedir que a razão entre as velocidades seja a mesma exatamente antes e depois (razão
) junto com a exigência de que o bloco 1 inverta o sinal produz uma contradição com as leis de conservação para massas físicas positivas.
Resposta
Não existe razão positiva e finita
que satisfaça simultaneamente as condições do enunciado (as condições são incompatíveis com conservação do momento e da energia).