Dois blocos viajam da esquerda para a direita. O bloco 1 encontrase à esquerda do bloco 2 e tem uma velocidade que é o dobro da do bloco 2. Após uma colisão elástica, o bloco 1 retorna com uma velocidade que, em módulo, é novamente o dobro da do bloco 2 . Determine a razão M_{1} / M_{2} entre as massas dos dois blocos.

Passo 1

O enunciado (resumido, com as informações que vamos usar) dá:
  • Dois blocos viajam da esquerda para a direita antes da colisão.
  • O bloco 1 está à esquerda do bloco 2 e tem velocidade duas vezes a do bloco 2 antes da colisão. Vou escrever isso como \,u_1=2u_2. Defino \,u_2=u>0 então \,u_1=2u.
  • A colisão é elástica (energia cinética e momento linear são conservados).
  • Após a colisão, o bloco 1 retorna (ou seja, sua velocidade final é para a esquerda, v_1<0) e, em módulo, sua velocidade é novamente o dobro da do bloco 2 após a colisão: |v_1|=2|v_2|.
  • Pergunta: determinar a razão \,M_1/M_2 entre as massas.

Passo 2

Escolho convenções claras de sinais e incógnitas:
  • Antes: \,u_1=2u e \,u_2=u, com u>0 (ambos para a direita).
  • Depois: denoto as velocidades finais por \,v_1 e \,v_2. Como o enunciado diz que o bloco 1 retorna, vou impor \,v_1<0.
  • A condição de módulo pode ser escrita dependendo do sinal de \,v_2. Vou considerar explicitamente as duas possibilidades para o sinal de \,v_2 (positivo ou negativo), porque |v_1|=2|v_2| tem interpretações de sinal diferentes em cada caso.
Antes de testar os casos, escrevo as equações que valem para qualquer colisão elástica unidimensional.

Passo 3

Conservação do momento linear (antes = depois):
M_1 u_1 + M_2 u_2 = M_1 v_1 + M_2 v_2.
Conservação da energia cinética (antes = depois):
\tfrac12 M_1 u_1^2 + \tfrac12 M_2 u_2^2 = \tfrac12 M_1 v_1^2 + \tfrac12 M_2 v_2^2.
Explico cada símbolo: \,M_1,M_2 são as massas; \,u_1,u_2 são velocidades antes; \,v_1,v_2 são velocidades depois. As equações acima aplicam-se isoladamente ao sistema de duas partículas em colisão elástica.
Agora substituo \,u_1=2u e \,u_2=u nas equações (cancelo o fator \tfrac12 na equação de energia):
\text{(momento)}:\quad 2M_1 u + M_2 u = M_1 v_1 + M_2 v_2.
\text{(energia)}:\quad 4M_1 u^2 + M_2 u^2 = M_1 v_1^2 + M_2 v_2^2.

Passo 4

Trato o caso 1: suponha que, após a colisão, o bloco 2 continua para a direita ( v_2>0).
Então |v_2|=v_2 e como v_1<0 e |v_1|=2|v_2|=2v_2 temos
v_1 = -2 v_2.
Substituo v_1=-2v_2 na equação de energia:
4M_1 u^2 + M_2 u^2 = M_1(-2v_2)^2 + M_2 v_2^2
\Rightarrow 4M_1 u^2 + M_2 u^2 = 4M_1 v_2^2 + M_2 v_2^2.
Agrupando:
(4M_1+M_2)u^2 = (4M_1+M_2)v_2^2.
Como 4M_1+M_2>0 (massas positivas), segue
u^2 = v_2^2 \quad\Rightarrow\quad v_2 = \pm u.
Pelo caso assumido v_2>0 então v_2=u. Voltando à conservação do momento:
2M_1 u + M_2 u = M_1 v_1 + M_2 v_2 = M_1(-2u) + M_2 u.
Cancelando u (não nulo):
2M_1 + M_2 = -2M_1 + M_2 \quad\Rightarrow\quad 4M_1 = 0,
o que implica M_1=0, impossível para uma massa física positiva. Logo não existe solução física neste caso.

Passo 5

Trato o caso 2: suponha que, após a colisão, o bloco 2 também volte para a esquerda ( v_2<0).
Então |v_2|=-v_2 e |v_1|=2|v_2| com v_1<0 implica
-v_1 = 2(-v_2)\quad\Rightarrow\quad v_1 = 2 v_2.
Substituo v_1=2v_2 na equação de energia:
4M_1 u^2 + M_2 u^2 = M_1(2v_2)^2 + M_2 v_2^2
\Rightarrow 4M_1 u^2 + M_2 u^2 = 4M_1 v_2^2 + M_2 v_2^2,
que leva à mesma condição
(4M_1+M_2)(u^2 - v_2^2)=0 \Rightarrow u^2 = v_2^2.
Como agora assumimos v_2<0 fica v_2=-u. Uso isso na conservação do momento:
2M_1 u + M_2 u = M_1 v_1 + M_2 v_2 = M_1(2(-u)) + M_2(-u).
Dividindo por u:
2M_1 + M_2 = -2M_1 - M_2 \quad\Rightarrow\quad 4M_1 + 2M_2 = 0,
isto dá 2(2M_1+M_2)=0\Rightarrow 2M_1+M_2=0, o que implica massa negativa para um dos blocos (impossível fisicamente) ou ambas nulas. Portanto esse caso também não fornece uma solução física.

Passo 6

Como analisado, as duas possibilidades de sinal de \,v_2 (positiva ou negativa) levam a contradições quando se exigem ao mesmo tempo:
  • que antes da colisão u_1=2u_2,
  • que a colisão seja elástica (conserva momento e energia),
  • e que após a colisão v_1 tenha sentido oposto (retorna) e |v_1|=2|v_2|.
Em termos algébricos a conservação da energia força |v_2|=u, e a conservação do momento então leva a condições impossíveis ( M_1=0 ou massas negativas). Portanto não existe razão de massas positiva e finita \,M_1/M_2 que satisfaça todas as condições do enunciado.
Intuição curta: pedir que a razão entre as velocidades seja a mesma exatamente antes e depois (razão 2) junto com a exigência de que o bloco 1 inverta o sinal produz uma contradição com as leis de conservação para massas físicas positivas.

Resposta

Não existe razão positiva e finita \dfrac{M_1}{M_2} que satisfaça simultaneamente as condições do enunciado (as condições são incompatíveis com conservação do momento e da energia).

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