1. Que corrente contínua produz a mesma energia térmica, em um resistor, que uma corrente alternada com um valor máximo de 2,60 \mathrm{~A} ?

Passo 1

O enunciado dá o valor máximo (pico) da corrente alternada e pede a corrente contínua que produz a mesma energia térmica no resistor. Informações fornecidas:
  • Valor máximo da corrente alternada: \,I_{\max}=2,60\\ \mathrm{A}.
  • Pergunta: qual corrente contínua I_{\text{dc}} (constante) produz a mesma potência média dissipada em um resistor que essa corrente alternada?

Passo 2

Ideia física e definição que vamos usar (útil para a prova, explicado passo a passo):
  • A potência instantânea dissipada num resistor R por uma corrente I(t) é \,P(t)=I^2(t)\,R.
  • A energia térmica produzida por um intervalo de tempo é a integral dessa potência; para uma fonte contínua e estacionária interessa a potência média. Para que uma corrente contínua I_{\text{dc}} produza a mesma energia térmica que uma corrente alternada I(t), basta que suas potências médias sejam iguais.
  • Como R é o mesmo, a condição reduz-se a igualar as médias de I^2:
I_{\text{dc}}^{2}=\overline{I^{2}(t)}.
  • Definição de valor eficaz (RMS, root-mean-square) da corrente: este é exatamente o valor que satisfaz a igualdade acima. Matematicamente,
I_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}I^{2}(t)\,dt},
onde T é o período da corrente alternada. Portanto a corrente contínua equivalente em termos de aquecimento é I_{\text{dc}}=I_{\mathrm{rms}}.

Passo 3

Aplicando ao caso de senoide (derivação que cai muito na prova):
  • Para uma corrente senoidal típica usamos a representação
I(t)=I_{\max}\sin(\omega t).
  • Então
I^{2}(t)=I_{\max}^{2}\sin^{2}(\omega t).
  • Calcular a média em um período:
\overline{I^{2}}=\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}I_{\max}^{2}\sin^{2}(\omega t)\,dt =I_{\max}^{2}\cdot\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}\sin^{2}(\omega t)\,dt.
  • Usar a identidade trigonométrica (que é muito útil em provas):
\sin^{2}x=\dfrac{1-\cos(2x)}{2}.
Substituindo,
\overline{I^{2}}=I_{\max}^{2}\cdot\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}\dfrac{1-\cos(2\omega t)}{2}\,dt =I_{\max}^{2}\cdot\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{T}\int_{0}^{T}\cos(2\omega t)\,dt\right).
  • A integral do cosseno sobre um período inteiro é zero, porque \cos(2\omega t) completa um número inteiro de oscilações em T. Assim
\overline{I^{2}}=I_{\max}^{2}\cdot\dfrac{1}{2}.
  • Portanto o valor eficaz (RMS) é
I_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\overline{I^{2}}}=\sqrt{\dfrac{I_{\max}^{2}}{2}}=\dfrac{I_{\max}}{\sqrt{2}}.
Observação didática: isso significa que uma senoide de pico \,I_{\max} tem o mesmo efeito térmico (no resistor) que uma corrente contínua igual a \,I_{\max}/\sqrt{2}.

Passo 4

Aplicar o resultado numérico ao dado do enunciado:
I_{\mathrm{rms}}=\dfrac{I_{\max}}{\sqrt{2}}=\dfrac{2,60}{\sqrt{2}}\\ \mathrm{A}.
Para cálculo manual rápido: \sqrt{2}\approx1,414. Então
I_{\mathrm{rms}}\approx\dfrac{2,60}{1,414}\\ \mathrm{A}\approx1,84\\ \mathrm{A},
porque 1,414\times1,84\approx2,602, muito próximo de 2,60. Podemos arredondar para duas casas decimais como acima.

Passo 5

Interpretação final e dica para a prova:
  • Resposta prática para a prova: a corrente contínua que produz a mesma potência média é o valor eficaz da senoide, isto é \,I_{\text{dc}}=I_{\mathrm{rms}}=I_{\max}/\sqrt{2}.
  • Dica de memorização: para senoide use sempre a relação \,I_{\mathrm{rms}}=I_{\max}/\sqrt{2} (análogo para tensão: V_{\mathrm{rms}}=V_{\max}/\sqrt{2}). Se surgir outra forma de onda, calcule o RMS pela integral ou use a tabela de formas conhecidas.

Resposta

1,84\\ \mathrm{A}

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