Uma espira quadrada de lado
transporta uma corrente
. Mostre que o módulo do campo magnético em um ponto
ao longo do eixo central da espira e a uma distância
do seu centro (figura 2) é dado por
Mostre que esse resultado é consistente com o cálculo de
no centro do quadrado.
Passo 1
O enunciado dá:
- Uma espira quadrada de lado
transportando corrente . - O ponto
está sobre o eixo central da espira, a uma distância do centro (veja figura).
Pede-se:
- Mostrar que o módulo do campo magnético em
é
- Mostrar que esse resultado é consistente com o valor de
no centro do quadrado (ou seja, avaliar e comparar com o valor conhecido).
Passo 2
Vamos usar a lei de Biot–Savart. A versão diferencial diz que o campo magnético gerado por um elemento de fio com corrente é
onde:
-
é o vetor diferencial de comprimento do fio, apontando na direção da corrente; -
é o vetor posição que vai do elemento até o ponto onde calculamos o campo; -
e ; -
é a permeabilidade do vácuo.
Explicando em linguagem simples: somamos (integrando) as contribuições de todos os pequenos trechos do fio; cada trecho dá umperpendicular tanto a quanto a .
Passo 3
Escolha de coordenadas e geometria das variáveis:
- Colocamos a espira no plano
, centrada na origem. - Os lados são paralelos aos eixos; portanto os quatro lados têm equações com
ou variando de a . - O ponto
está no eixo em .
Por simetria, as contribuições horizontais (paralelas ao plano da espira) de lados opostos se cancelam; sobra apenas a componente ao longo do eixo. Basta calcular a componente do campo produzida por um lado e multiplicar por 4.
Vamos analisar o lado superior da espira, que está no segmento
com
variando de
a
. Para esse lado:
- Um elemento
(corrente no sentido se assim orientarmos). - O vetor que vai do elemento
até é
- O módulo
é
Passo 4
Calcule
. Usando a operação vetorial:
Dessa expressão, o termo em
(com componente proporcional a
) dará contribuição que será cancelada pelo lado oposto da espira. O termo em
é perpendicular ao plano da espira e se soma para todos os lados (com sinal adequado). Então a contribuição diferencial ao longo de
(módulo) de um elemento do lado superior é
Aqui tomamos a magnitude positiva, pois estamos interessado no módulo total (a direção é ao longo do eixo
).
Passo 5
Integramos
ao longo do lado superior de
até
:
onde por simplicidade definimos
Precisamos calcular a integral
Uma antiderivada conhecida (pode-se obter por substituição
ou diferenciando uma tentativa) é
Podemos checar rapidamente diferenciando essa expressão para confirmar que gera o integrando.
Passo 6
Avalie a integral definida usando a antiderivada:
Agora substituímos
. Observando que
temos
Passo 7
Somando as quatro contribuições idênticas (quatro lados):
Agora reescrevemos em termos de
e
. Lembrando
, temos
Substituindo na expressão de
:
Isso é exatamente a expressão pedida.
Passo 8
Consistência com o cálculo no centro: avalie
em
. Substituindo
na fórmula final:
Esse é o valor conhecido do campo magnético no centro de uma espira quadrada de lado
, portanto o resultado é consistente.