Uma espira quadrada de lado L transporta uma corrente I. Mostre que o módulo do campo magnético em um ponto P ao longo do eixo central da espira e a uma distância z do seu centro (figura 2) é dado por
B(z)=\frac{4 \mu_{0} I L^{2}}{\pi\left(4 z^{2}+L^{2}\right) \sqrt{4 z^{2}+2 L^{2}}}
Mostre que esse resultado é consistente com o cálculo de B no centro do quadrado.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Uma espira quadrada de lado L transportando corrente I.
  • O ponto P está sobre o eixo central da espira, a uma distância z do centro (veja figura).
    Pede-se:
  1. Mostrar que o módulo do campo magnético em P é
B(z)=\frac{4 \mu_{0} I L^{2}}{\pi\left(4 z^{2}+L^{2}\right) \sqrt{4 z^{2}+2 L^{2}}}.
  1. Mostrar que esse resultado é consistente com o valor de B no centro do quadrado (ou seja, avaliar B(0) e comparar com o valor conhecido).

Passo 2

Vamos usar a lei de Biot–Savart. A versão diferencial diz que o campo magnético gerado por um elemento de fio com corrente é
d\mathbf{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{I\,d\boldsymbol{\ell}\times \mathbf{\hat r}}{r^{2}}
onde:
  • d\boldsymbol{\ell} é o vetor diferencial de comprimento do fio, apontando na direção da corrente;
  • \mathbf{r} é o vetor posição que vai do elemento d\boldsymbol{\ell} até o ponto onde calculamos o campo;
  • r=|\mathbf{r}| e \mathbf{\hat r}=\mathbf{r}/r;
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo.
    Explicando em linguagem simples: somamos (integrando) as contribuições de todos os pequenos trechos do fio; cada trecho dá um d\mathbf{B} perpendicular tanto a d\boldsymbol{\ell} quanto a \mathbf{r}.

Passo 3

Escolha de coordenadas e geometria das variáveis:
  • Colocamos a espira no plano xy, centrada na origem.
  • Os lados são paralelos aos eixos; portanto os quatro lados têm equações com x ou y variando de -L/2 a L/2.
  • O ponto P está no eixo z em (0,0,z).
    Por simetria, as contribuições horizontais (paralelas ao plano da espira) de lados opostos se cancelam; sobra apenas a componente ao longo do eixo z. Basta calcular a componente z do campo produzida por um lado e multiplicar por 4.
Vamos analisar o lado superior da espira, que está no segmento y=+L/2 com x variando de -L/2 a +L/2. Para esse lado:
  • Um elemento d\boldsymbol{\ell}=dx\,\mathbf{\hat i} (corrente no sentido +\mathbf{\hat i} se assim orientarmos).
  • O vetor que vai do elemento (x,\,L/2,\,0) até P(0,0,z) é
\mathbf{r}=(-x)\,\mathbf{\hat i}+(-L/2)\,\mathbf{\hat j}+z\,\mathbf{\hat k}.
  • O módulo r é
r=\sqrt{x^{2}+\left(\tfrac{L}{2}\right)^{2}+z^{2}}.

Passo 4

Calcule d\boldsymbol{\ell}\times \mathbf{r}. Usando a operação vetorial:
d\boldsymbol{\ell}\times \mathbf{r}=dx\,\mathbf{\hat i}\times\big((-x)\mathbf{\hat i}+(-\tfrac{L}{2})\mathbf{\hat j}+z\mathbf{\hat k}\big) =dx\big(-\tfrac{L}{2}\,\mathbf{\hat k}-z\,\mathbf{\hat j}\big).
Dessa expressão, o termo em \mathbf{\hat j} (com componente proporcional a -z) dará contribuição que será cancelada pelo lado oposto da espira. O termo em \mathbf{\hat k} é perpendicular ao plano da espira e se soma para todos os lados (com sinal adequado). Então a contribuição diferencial ao longo de z (módulo) de um elemento do lado superior é
dB_{z}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{I\left(\tfrac{L}{2}\right)dx}{r^{3}}.
Aqui tomamos a magnitude positiva, pois estamos interessado no módulo total (a direção é ao longo do eixo z).

Passo 5

Integramos dB_{z} ao longo do lado superior de x=-\tfrac{L}{2} até x=+\tfrac{L}{2}:
B_{z}^{(\text{um lado})}=\frac{\mu_{0} I}{4\pi}\,\frac{L}{2}\int_{-L/2}^{L/2}\frac{dx}{\big(x^{2}+a^{2}\big)^{3/2}},
onde por simplicidade definimos
a^{2}=z^{2}+\left(\tfrac{L}{2}\right)^{2}.
Precisamos calcular a integral
\int\frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}}.
Uma antiderivada conhecida (pode-se obter por substituição x=a\tan\theta ou diferenciando uma tentativa) é
\frac{x}{a^{2}\sqrt{x^{2}+a^{2}}}.
Podemos checar rapidamente diferenciando essa expressão para confirmar que gera o integrando.

Passo 6

Avalie a integral definida usando a antiderivada:
\int_{-L/2}^{L/2}\frac{dx}{(x^{2}+a^{2})^{3/2}} =\left[\frac{x}{a^{2}\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\right]_{-L/2}^{L/2} =\frac{\tfrac{L}{2}}{a^{2}\sqrt{\left(\tfrac{L}{2}\right)^{2}+a^{2}}}-\frac{-\tfrac{L}{2}}{a^{2}\sqrt{\left(\tfrac{L}{2}\right)^{2}+a^{2}}}
=\frac{L}{a^{2}\sqrt{\left(\tfrac{L}{2}\right)^{2}+a^{2}}}.
Agora substituímos a^{2}=z^{2}+\left(\tfrac{L}{2}\right)^{2}. Observando que
\left(\tfrac{L}{2}\right)^{2}+a^{2}= \left(\tfrac{L}{2}\right)^{2}+z^{2}+\left(\tfrac{L}{2}\right)^{2}=z^{2}+\tfrac{L^{2}}{2},
temos
B_{z}^{(\text{um lado})}=\frac{\mu_{0} I}{4\pi}\,\frac{L}{2}\cdot\frac{L}{a^{2}\sqrt{z^{2}+\tfrac{L^{2}}{2}}} =\frac{\mu_{0} I L^{2}}{8\pi\,a^{2}\sqrt{z^{2}+\tfrac{L^{2}}{2}}}.

Passo 7

Somando as quatro contribuições idênticas (quatro lados):
B(z)=4\,B_{z}^{(\text{um lado})}=\frac{\mu_{0} I L^{2}}{2\pi\,a^{2}\sqrt{z^{2}+\tfrac{L^{2}}{2}}}.
Agora reescrevemos em termos de z e L. Lembrando a^{2}=z^{2}+\tfrac{L^{2}}{4}, temos
a^{2}=z^{2}+\frac{L^{2}}{4}=\frac{4z^{2}+L^{2}}{4}, \qquad \sqrt{z^{2}+\tfrac{L^{2}}{2}}=\frac{\sqrt{4z^{2}+2L^{2}}}{2}.
Substituindo na expressão de B(z):
B(z)=\frac{\mu_{0} I L^{2}}{2\pi}\cdot\frac{1}{\dfrac{4z^{2}+L^{2}}{4}}\cdot\frac{1}{\dfrac{\sqrt{4z^{2}+2L^{2}}}{2}} =\frac{\mu_{0} I L^{2}}{2\pi}\cdot\frac{4}{4z^{2}+L^{2}}\cdot\frac{2}{\sqrt{4z^{2}+2L^{2}}}
=\frac{4\mu_{0} I L^{2}}{\pi(4z^{2}+L^{2})\sqrt{4z^{2}+2L^{2}}}.
Isso é exatamente a expressão pedida.

Passo 8

Consistência com o cálculo no centro: avalie B(z) em z=0. Substituindo z=0 na fórmula final:
B(0)=\frac{4\mu_{0} I L^{2}}{\pi(L^{2})\sqrt{2L^{2}}} =\frac{4\mu_{0} I}{\pi\sqrt{2}\,L} =\frac{2\sqrt{2}\,\mu_{0} I}{\pi L}.
Esse é o valor conhecido do campo magnético no centro de uma espira quadrada de lado L, portanto o resultado é consistente.

Resposta

B(z)=\frac{4 \mu_{0} I L^{2}}{\pi\left(4 z^{2}+L^{2}\right) \sqrt{4 z^{2}+2 L^{2}}}
B(0)=\frac{2\sqrt{2}\,\mu_{0} I}{\pi L}

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