Passo 16: Colocando a Teoria em Prática II. Agora, um desafio final que une tudo: água escoa em um tubo que sobe 5 metros e também se estreita.
  • No Ponto 1 (em z_{1}=0 ): diâmetro de 10 cm , pressão p_{1}=300 \mathrm{kPa}.
  • No Ponto 2 (em z_{2}=5 \mathrm{~m} ): diâmetro de 5 cm .
Se a velocidade no ponto 1 é de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, calcule a pressão no ponto 2 . (Você precisará da equação da continuidade, A_{1} v_{1}=A_{2} v_{2}, como uma ferramenta auxiliar).

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a pressão no Ponto 2. Dados fornecidos:
  • No Ponto 1: z_{1}=0, diâmetro d_{1}=0{,}10\\ \mathrm{m}, pressão p_{1}=300\\ \mathrm{kPa} (ou 300\,000\\ \mathrm{Pa}), velocidade v_{1}=2\\ \mathrm{m/s}.
  • No Ponto 2: z_{2}=5\\ \mathrm{m}, diâmetro d_{2}=0{,}05\\ \mathrm{m}. Pressão p_{2} é o que queremos.
  • Informação adicional necessária (assumida): água incompressível com densidade \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e aceleração da gravidade g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}. Suponho escoamento estacionário e desprezo perdas por atrito (aplico a equação de Bernoulli entre os dois pontos).
  • Ferramenta auxiliar indicada: equação da continuidade \;A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}.

Passo 2

Explico as fórmulas que vou usar, de modo bem prático:
  • Área da secção circular: \;A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}. Aqui A é a área em metros quadrados e d é o diâmetro em metros.
  • Equação da continuidade para fluxo incompressível e estacionário: \;A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2}. Isso significa que a vazão volumétrica é a mesma nos dois pontos.
  • Equação de Bernoulli (forma conveniente para comparar dois pontos na mesma linha de corrente, sem atrito):
p_{1}+\tfrac{1}{2}\rho v_{1}^{2}+\rho g z_{1}=p_{2}+\tfrac{1}{2}\rho v_{2}^{2}+\rho g z_{2}.
Nessa equação p é pressão (Pa), \rho é densidade ( \mathrm{kg/m^{3}}), v é velocidade ( \mathrm{m/s}) e z é a cota (m). Vou rearranjar para obter p_{2}:
p_{2}=p_{1}+\tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\bigr)+\rho g\bigl(z_{1}-z_{2}\bigr).

Passo 3

Calculo as áreas das seções usando \;A=\dfrac{\pi d^{2}}{4}.
  • Para o Ponto 1: A_{1}=\dfrac{\pi d_{1}^{2}}{4}=\dfrac{\pi (0{,}10)^{2}}{4}=\dfrac{\pi \cdot 0{,}01}{4}=0{,}0025\pi\\ \mathrm{m^{2}}\approx 0{,}00785398\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Para o Ponto 2: A_{2}=\dfrac{\pi d_{2}^{2}}{4}=\dfrac{\pi (0{,}05)^{2}}{4}=\dfrac{\pi \cdot 0{,}0025}{4}=0{,}000625\pi\\ \mathrm{m^{2}}\approx 0{,}00196350\\ \mathrm{m^{2}}.
Observe que usei os diâmetros dados e converti para metros (já estavam em metros).

Passo 4

Aplico a continuidade \;A_{1}v_{1}=A_{2}v_{2} para achar v_{2}. Reorganizando,
v_{2}=v_{1}\dfrac{A_{1}}{A_{2}}.
Como A_{1}=0{,}0025\pi e A_{2}=0{,}000625\pi, o fator \dfrac{A_{1}}{A_{2}}=\dfrac{0{,}0025\pi}{0{,}000625\pi}=\dfrac{0{,}0025}{0{,}000625}=4.
Logo,
v_{2}=v_{1}\cdot 4=2\cdot 4=8\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Agora uso a equação de Bernoulli rearranjada para p_{2}:
p_{2}=p_{1}+\tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\bigr)+\rho g\bigl(z_{1}-z_{2}\bigr).
Vou computar cada termo numérico separadamente para ficar claro e fazer as contas “na mão”.

Passo 6

Calculo o termo dinâmico (energia cinética por volume):
\tfrac{1}{2}\rho\bigl(v_{1}^{2}-v_{2}^{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\cdot 1000\bigl(2^{2}-8^{2}\bigr)\\ \mathrm{Pa}=\tfrac{1}{2}\cdot 1000\bigl(4-64\bigr)\\ \mathrm{Pa}
=\;500\cdot(-60)\\ \mathrm{Pa}=-30\,000\\ \mathrm{Pa}.
Interpretação: como a velocidade aumenta ao estreitar o tubo, a energia cinética por volume aumenta à jusante, então esse termo reduz a pressão.

Passo 7

Calculo o termo hidrostático (diferença de peso por volume devido à elevação):
\rho g\bigl(z_{1}-z_{2}\bigr)=1000\cdot 9{,}81\cdot(0-5)\\ \mathrm{Pa}=1000\cdot 9{,}81\cdot(-5)\\ \mathrm{Pa}
= -49\,050\\ \mathrm{Pa}.
Interpretação: subir 5\\ \mathrm{m} consome energia e reduz a pressão em 49\,050\\ \mathrm{Pa}.

Passo 8

Agora monto a soma com p_{1}. Em unidades SI:
p_{1}=300\\ \mathrm{kPa}=300\,000\\ \mathrm{Pa}.
Usando os termos calculados:
p_{2}=300\,000\\ \mathrm{Pa} + (-30\,000\\ \mathrm{Pa}) + (-49\,050\\ \mathrm{Pa}).
Vou deixar a soma final na seção de resposta para cumprir o formato pedido.

Resposta

\;p_{2}=220\,950\\ \mathrm{Pa}\approx 221\\ \mathrm{kPa}

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