Passo 14: Da Variação para a Constância. Se a soma das variações de várias grandezas é zero,
, o que isso implica sobre a quantidade (
)? Integre a equação que você obteve no Passo 13.
Passo 1
O enunciado dá a informação
e pede para dizer o que isso implica sobre a quantidade
e para integrar a equação obtida no Passo 13. Em resumo: temos que interpretar
e calcular a integral dessa igualdade.
Passo 2
Vamos traduzir o que significa
. O símbolo
representa uma variação infinitesimal (diferencial) da grandeza entre parênteses. Se eu definir uma nova função
então
é exatamente a variação infinitesimal de
. Portanto a igualdade dada pode ser reescrita como
Aqui estou apenas renomeando
por
para ficar mais claro.
Passo 3
Explico duas leituras equivalentes e simples de
:
- Leitura diferencial pura:
significa que o diferencial de é nulo em todo ponto considerado — ou seja, não sofre variação infinitesimal. - Leitura via derivada em função de um parâmetro
(caso dependam de ): temos
Se
então
. Ambas as leituras levam à mesma conclusão: a taxa de variação é zero.
Passo 4
Agora integramos a equação diferencial. Partimos de
Integramos ambos os lados (integração indefinida):
A integral do diferencial
é simplesmente
(mais constante de integração) e a integral de zero é uma constante. Escrevendo isso:
onde
é uma constante (constante de integração) que depende das condições iniciais ou do valor de
em um ponto escolhido.
Passo 5
Voltando ao nome original das variáveis, substituímos
por
e obtemos a conclusão final:
ou seja, a soma
é constante (não varia).
Passo 6
Interpretação física/intuitiva e exemplo rápido: isso é exatamente a ideia de conservação — se a soma das variações é zero, a soma total não muda. Exemplo numérico: se inicialmente
,
,
, então
. Se
, essa soma permanecerá
para todo o processo, mesmo que
troquem valores entre si.