Um esquema de remoção de A de uma corrente gasosa em 293 K ę (1,013 x 10^5 Pa) é considerado. O gás conterá, inicialmente (3,7 mol %) de A . É desejado que a saída do gás terá apenas (0,2 mol %) de A . Nas condições dadas, o equilíbrio de A-água obedecerá a lei do Henry com a relação: (Y_A= 48,3 X_A).
d. (1 ponto) Dado o coeficiente de capacidade (K_Y a=3,1^{\mathrm{gmol}} / \mathrm{m}^{3} \mathrm{s}), e o fluxo (G_{s}=5,2^{\mathrm{gmol}} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{s}) calcula a altura da torre .

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular a altura da torre necessária para reduzir a concentração de A na corrente gasosa de 3{,}7\% (inicial) para 0{,}2\% (saída), nas condições dadas.
Informações fornecidas (peguei estes dados do enunciado):
  • Concentração inicial de A no gás: Y_{\text{in}}=3{,}7\%=0{,}037.
  • Concentração desejada de A na saída do gás: Y_{\text{out}}=0{,}2\%=0{,}002.
  • Lei de Henry (equilíbrio A–água): \,Y_A = 48{,}3\,X_A\,.
  • Coeficiente de capacidade (produto dos coeficientes de transferência e área por volume): K_Y a = 3{,}1\\ \mathrm{gmol}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}.
  • Fluxo de gás por área (na base da torre): G_s = 5{,}2\\ \mathrm{gmol}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}.
O pedido é apenas a altura da torre.

Passo 2

Entendendo as variáveis e o modelo que vamos usar (explicação didática)
  • Y é a concentração de A na fase gasosa, expressa como fração molar (por ex. Y=0{,}037).
  • X é a concentração de A na fase líquida (água), também como fração molar.
  • A condição de equilíbrio local (entre vapor e líquido) é dada por Henry: \,Y^*=m\,X com m=48{,}3. Aqui \,Y^* é a concentração de vapor que estaria em equilíbrio com a concentração líquida X.
  • O termo K_Y a representa a velocidade de remoção por unidade de volume de empacotamento: a vazão molar removida por unidade de área por unidade de comprimento é K_Y a (Y - Y^*). Suas unidades dadas ( \mathrm{gmol}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}) combinam com G_s para obter comprimento em metros (vou mostrar a verificação de unidades).
  • Vamos usar o balanço diferencial em uma seção de altura dz. A explicação rápida do raciocínio físico: o gás que passa por uma pequena altura troca uma quantidade de soluto com o líquido; essa remoção por unidade de área e de tempo é proporcional à diferença Y-Y^*.
Observação prática/assunção necessária (justificada): o enunciado não fornece vazão de líquido nem a concentração inicial do líquido. Um caso comum e simples de projeto é o de solvente fresco (água inicialmente limpa) em que a concentração do soluto na fase líquida é muito pequena durante grande parte da operação, i.e. X\approx 0. Nesse caso, pela lei de Henry \,Y^*=mX\approx 0. Essa assunção é típica em problemas elementares quando só fornecem G_s e K_Y a. Vou adotar essa hipótese (água essencialmente limpa, X\approx 0), o que simplifica a integração e é consistente com os dados fornecidos.

Passo 3

Equação diferencial de balanço e derivação da fórmula da altura
  • Balanço molar de A sobre um elemento da torre de altura dz (por unidade de área da torre): a variação no fluxo do gás é igual à taxa de transferência para o líquido:
G_s\,dY = -K_Y a\,(Y - Y^*)\,dz.
Explicando: G_s\,dY é a variação do fluxo molar do componente A no gás por unidade de área ao atravessar dz; o sinal negativo indica que Y diminui no sentido do escoamento à medida que se transfere para o líquido. O termo K_Y a (Y-Y^*) é a taxa de remoção por unidade de volume de empacotamento (por unidade de área por unidade de altura).
  • Com a assunção de solvente fresco ( X\approx 0\Rightarrow Y^*\approx 0), a expressão fica:
G_s\,dY = -K_Y a\,Y\,dz.
  • Isolando dz:
dz = -\frac{G_s}{K_Y a}\,\frac{dY}{Y}.
  • Integrando ao longo da torre desde a entrada ( Y=Y_{\text{in}}) até a saída ( Y=Y_{\text{out}}), a altura total H é:
H = \int_{0}^{H} dz = -\frac{G_s}{K_Y a}\int_{Y_{\text{in}}}^{Y_{\text{out}}}\frac{dY}{Y} = \frac{G_s}{K_Y a}\,\ln\!\left(\frac{Y_{\text{in}}}{Y_{\text{out}}}\right).
Esse é o resultado padrão para absorção quando a concentração de equilíbrio Y^* é aproximadamente zero (rascunho físico: o decaimento é exponencial em Y ao longo da altura).

Passo 4

Verificação de unidades (para ficar tranquilo)
  • \dfrac{G_s}{K_Y a} tem unidades:
\frac{\mathrm{gmol}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}}{\mathrm{gmol}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}} = \mathrm{m},
portanto a expressão dá H em metros, o que é consistente.

Passo 5

Substituição numérica passo a passo (cálculo)
  • Valores usados (peguei do enunciado):
G_s = 5{,}2\\ \mathrm{gmol}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1},\qquad K_Y a = 3{,}1\\ \mathrm{gmol}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}.
Y_{\text{in}} = 0{,}037,\qquad Y_{\text{out}} = 0{,}002.
  • Calcular o fator \dfrac{G_s}{K_Y a}:
\frac{G_s}{K_Y a} = \frac{5{,}2}{3{,}1} \approx 1{,}677419\\ \mathrm{m}.
  • Calcular o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{Y_{\text{in}}}{Y_{\text{out}}}\right) = \ln\!\left(\frac{0{,}037}{0{,}002}\right) = \ln(18{,}5) \approx 2{,}917771.
  • Multiplicando para obter H:
H = 1{,}677419\times 2{,}917771 \approx 4{,}892\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação e observações finais
  • Com a suposição de água praticamente limpa ( X\approx 0), a altura necessária da torre é aproximadamente 4{,}89\\ \mathrm{m}.
  • Observação importante: se a água não for fresca (se X variar significativamente ou houver vazão líquida limitada), o cálculo precisaria incluir o balanço do líquido e a curva de operação (e então não se poderia assumir Y^*=0). Nesse caso seria necessário o valor de L (vazão líquida) e integrar a forma geral com Y^* = mX acoplada ao balanço líquido. Como o enunciado só forneceu G_s e K_Y a, a hipótese de solvente essencialmente limpo é a interpretação usual.

Resposta

H \approx 4{,}89\\ \mathrm{m}

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