Um esquema de remoção de A de uma corrente gasosa em 293 K e 1,013 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} é considerado. O gás conterá, inicialmente 3,7 \mathrm{~mol} \% de A . É desejado que a saída do gás terá apenas 0,2 \mathrm{~mol} \% de A. Nas condições dadas, o equilibrio de A-água obedecerá a lei do Henry com a relação: Y_{A}=48,3 X_{A}.
a. Para um absorvedor em contracorrente, determine quantos mols de água são necessários por mols de gás sem A se 1,5 vezes da relação mínima será utilizada.
b. Determine a composição do líquido saindo da torre.
c. Esboça a curva de equilibrio, junto com a curva operacional mínima e atual da torre.
d. Dado o coeficiente de capacidade K_{Y} a=3,1 \mathrm{gmol} / \mathrm{m}^{3} \mathrm{~s}, e o fluxo G_{s}=5,2 \mathrm{gmol} / \mathrm{m}^{2} s calcula a altura da torre.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, sem resolver ainda.
Dados extraídos do enunciado:
  • Temperatura e pressão: 293\\ \text{K} e 1{,}013\times10^{5}\\ \text{Pa} (só para referência; o equilíbrio já está dado).
  • Fração molar de A na entrada do gás: y_{1}=0{,}037 (ou 3{,}7\%).
  • Fração molar de A na saída desejada do gás: y_{2}=0{,}002 (ou 0{,}2\%).
  • Lei de Henry (equilíbrio A–água): \;Y_{A}=48{,}3\,X_{A}. Ou seja, y=m x com m=48{,}3.
  • Será usado solvente (água) em contracorrente.
  • O fluxo de solvente real será 1{,}5 vezes o fluxo mínimo.
  • Para o item (d) são dados:
    • coeficiente de capacidade/transferência: K_{Y}a=3{,}1\\ \text{gmol}/\text{m}^{3}\text{s};
    • fluxo de gás por área: G_{s}=5{,}2\\ \text{gmol}/\text{m}^{2}\text{s}.
O que o enunciado pede:
(a) Quantos mols de água são necessários por mol de gás “seco” (por mol de gás sem A), usando 1{,}5 vezes a relação mínima.
(b) Composição do líquido que sai da torre (fração molar de A no líquido que sai).
(c) Esboço da curva de equilíbrio e das curvas operacionais mínima e atual da torre (fornecer as equações e pontos-chave para desenhar).
(d) Altura da torre usando o K_{Y}a e G_{s} fornecidos.
Observação sobre hipótese adotada (implícita no enunciado e usada a seguir): normalizo os fluxos por 1 mol de gás sem A (isto é, G=1 mol de gás “seco” como base), e considero o solvente puro na entrada (composição x_{1}=0).

Passo 2

Entendendo fisicamente e matematicamente (aula curta e necessária):
  • Henry: a relação de equilíbrio entre fase gasosa e líquida para A é linear e dada por \;y=m x, onde:
    • \;y é a fração molar de A na fase gasosa (por ex. y_{1},y_{2});
    • \;x é a fração molar de A na fase líquida;
    • \;m é a constante de Henry (aqui m=48{,}3).
      Isso significa que, em equilíbrio, a concentração de A no gás é 48{,}3 vezes a fração molar no líquido.
  • Balanço global de componente A para a coluna (base por 1 mol de gás seco):
    G(y_{1}-y_{2}) = L(x_{2}-x_{1}).
    Aqui:
    • G é o fluxo molar do gás seco (por nossa base G=1 mol);
    • L é o fluxo molar do líquido (mols de água) — o que queremos expressar por mol de gás seco;
    • x_{1} é fração molar do líquido na entrada (topo); com água pura x_{1}=0;
    • x_{2} é fração molar do líquido na saída (fundo) — a pedir no item (b).
  • Condição para o fluxo mínimo ( L_{\min}) quando o solvente entra puro: o menor fluxo líquido que permite baixar o gás de y_{1} para y_{2} é obtido supondo que o líquido na saída (fundo) está na composição de equilíbrio com o gás de entrada, ou seja:
    x_{2}^* = \frac{y_{1}}{m}.
    Substituindo em o balanço global com x_{1}=0,
    L_{\min} = G\;\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{2}^*-0} = G\;\frac{y_{1}-y_{2}}{y_{1}/m} = G\,m\left(1-\frac{y_{2}}{y_{1}}\right).
    Explicação curta: esse é o menor L que ainda permite que, no fundo, o líquido atinja a composição de equilíbrio com o gás que chega (ponto crítico). Com L menor do que isso não é possível atingir y_{2}.

Passo 3

Cálculo do fluxo mínimo e do fluxo real (item a).
  • Adoto G=1 mol de gás seco como base.
  • Calcule x_{2}^*=\dfrac{y_{1}}{m}: x_{2}^*=\frac{0{,}037}{48{,}3}=0{,}0007658\\ (\text{aprox.}).
  • Calcule L_{\min}/G usando a fórmula: \frac{L_{\min}}{G}=m\left(1-\frac{y_{2}}{y_{1}}\right)=48{,}3\left(1-\frac{0{,}002}{0{,}037}\right).Primeiro calcule a fração: 1-\frac{0{,}002}{0{,}037}=1-0{,}054054\ldots=0{,}945945\ldotsEntão \frac{L_{\min}}{G}=48{,}3\times0{,}945945\ldots\approx45{,}714.
  • O enunciado pede usar 1{,}5 vezes a relação mínima, portanto o fluxo real é \frac{L}{G}=1{,}5\cdot\frac{L_{\min}}{G}\approx1{,}5\times45{,}714\approx68{,}572.
Interpretação: são necessárias cerca de 68{,}57 mol de água por mol de gás seco.

Passo 4

Determinar a composição do líquido saindo da torre (item b).
  • Use o balanço global com G=1 e x_{1}=0: x_{2}=\frac{G(y_{1}-y_{2})}{L}=\frac{y_{1}-y_{2}}{L/G}.
  • Substituindo valores: x_{2}=\frac{0{,}037-0{,}002}{68{,}572}=\frac{0{,}035}{68{,}572}\approx0{,}0005105.
  • Em porcentagem molar isso é 0{,}0005105\times100\%=0{,}05105\%.
    Portanto a fração molar de A no líquido saindo (fundo) é aproximadamente x_{2}=0{,}0005105 (≈ 0{,}0511\%).

Passo 5

Esboço das curvas (item c): como montar o gráfico e quais equações/ pontos usar
  • Curva de equilíbrio (reta, pela lei de Henry):
    \text{Equilíbrio:}\qquad y=m x=48{,}3\,x.í
    Esta linha passa pela origem e tem inclinação 48{,}3.
  • Curva operacional mínima (linha conectando (x_{1}=0,\;y_{2}) e (x_{2}^*,\;y_{1})):
    • Tem coeficiente angular \dfrac{L_{\min}}{G}. A equação da linha operacional, em termos gerais para contracorrente, é y=y_{2}+\frac{L}{G}(x-x_{1}).Como x_{1}=0, fica y=y_{2}+\dfrac{L}{G}x.
    • Para a operação mínima ( L/L_{\min}=1) a equação é y=y_{2}+\left(\frac{L_{\min}}{G}\right)x =0{,}002+45{,}714\,x.
    • Esta linha passa pelos pontos:
      • em x=0: y=0{,}002 (ponto no eixo das ord.),
      • em x=x_{2}^*=0{,}0007658: y=y_{1}=0{,}037 (verificação).
  • Curva operacional atual (com L=1{,}5\,L_{\min}):
    • Tem inclinação \dfrac{L}{G}=68{,}572.
    • Equação: y=0{,}002+68{,}572\,x.
    • Passa pelos pontos:
      • em x=0: y=0{,}002;
      • em x=x_{2}=0{,}0005105: y=0{,}037 (verificação do balanço).
Como esboçar (passos práticos para desenhar):
  1. Traçar a reta de equilíbrio y=48{,}3\,x passando pela origem.
  2. Marcar o ponto A=(0,y_{2})=(0,0{,}002) no eixo y.
  3. Traçar a linha operacional mínima y=0{,}002+45{,}714\,x partindo de A com inclinação menor que m; ela intercepta a reta de equilíbrio em x\approx0{,}0007658 e atinge y=0{,}037 nesse x.
  4. Traçar a linha operacional real y=0{,}002+68{,}572\,x também saindo de A, mais inclinada; ela intercepta o valor y=0{,}037 em x\approx0{,}0005105.
  5. Rotular claramente os pontos (0,0{,}002), (x_{2},0{,}037) e (x_{2}^*,0{,}037) para visualizar a diferença entre operação mínima e real.
Observação: a reta de equilíbrio tem inclinação m=48{,}3 que fica entre as inclinações da linha mínima (≈ 45{,}7) e da linha real (≈ 68{,}6). Em papel, desenhe eixo x ampliado porque os x são muito pequenos (ordem 10^{-4}).

Passo 6

Cálculo da altura da torre usando transferência de massa (item d). Derivação passo a passo e integração:
  • Modelo diferencial (pressupondo resistência no lado do gás descrita por K_{Y}a):
    balanço diferencial ao longo da altura z (por unidade de área):
    G_{s}\,\frac{dY}{dz} = -K_{Y}a\,(Y-Y^{*}),
    onde:
    • G_{s} é o fluxo molar de gás por área (\text{gmol}/\text{m}^{2}\text{s});
    • K_{Y}a é o coeficiente volumétrico efetivo (\text{gmol}/\text{m}^{3}\text{s});
    • Y^{*} é a composição de gás em equilíbrio com a fase líquida local.
  • Reescrevendo:
    dz = -\frac{G_{s}}{K_{Y}a}\,\frac{dY}{Y-Y^{*}}.
    Integrando do topo ( Y=Y_{2}) ao fundo ( Y=Y_{1}) obtemos a altura total H:
    H=\frac{G_{s}}{K_{Y}a}\int_{Y_{2}}^{Y_{1}}\frac{dY}{Y-Y^{*}}.
  • Agora relacionar Y^{*} com Y pela linha operacional (lembre: a composição líquida local x e a composição gasosa em equilíbrio Y^{*} obedecem Y^{*}=m x; e a operação dá x em função de Y):
    • A linha operacional para contracorrente com x_{1}=0 é Y=Y_{2}+\dfrac{L}{G}(x-0). Assim x=\frac{G}{L}(Y-Y_{2}).
    • Então Y^{*}=m x = m\frac{G}{L}(Y-Y_{2}).
  • Substitua em Y-Y^{*}:
    Y-Y^{*}=Y-m\frac{G}{L}(Y-Y_{2}) =\left(1-\frac{mG}{L}\right)Y+\frac{mG}{L}Y_{2}.
    Denote \alpha=1-\dfrac{mG}{L} e c=\dfrac{mG}{L}Y_{2}. Então Y-Y^{*}=\alpha Y+c, uma função linear de Y.
  • Assim a integral é elementar:
    H=\frac{G_{s}}{K_{Y}a}\int_{Y_{2}}^{Y_{1}}\frac{dY}{\alpha Y+c} =\frac{G_{s}}{K_{Y}a}\cdot\frac{1}{\alpha}\ln\!\left(\frac{\alpha Y_{1}+c}{\alpha Y_{2}+c}\right).
    Observação útil: \alpha Y_{2}+c=(1-mG/L)Y_{2}+(mG/L)Y_{2}=Y_{2}, logo o denominador simplifica para Y_{2}. Então:
    H=\frac{G_{s}}{K_{Y}a}\cdot\frac{1}{\alpha}\ln\!\left(\frac{\alpha Y_{1}+c}{Y_{2}}\right).

Passo 7

Cálculo numérico da altura usando os valores já obtidos:
  • Primeiro calcule \dfrac{mG}{L} com G=1 e L/G=68{,}572: \frac{mG}{L}=\frac{48{,}3}{68{,}572}\approx0{,}70456.Então \alpha=1-\frac{mG}{L}\approx1-0{,}70456=0{,}29544.
  • Calcule c=\dfrac{mG}{L}Y_{2}=0{,}70456\times0{,}002=0{,}00140912.
  • Calcule \alpha Y_{1}+c: \alpha Y_{1}+c=0{,}29544\times0{,}037+0{,}00140912\approx0{,}0123370.
  • Agora a razão dentro do logaritmo: \frac{\alpha Y_{1}+c}{Y_{2}}=\frac{0{,}0123370}{0{,}002}=6{,}1685\\ (\text{aprox.}).Logaritmo natural: \ln(6{,}1685)\approx1{,}81807.
  • Fator fora do logaritmo: \frac{G_{s}}{K_{Y}a}\cdot\frac{1}{\alpha}=\frac{5{,}2}{3{,}1}\cdot\frac{1}{0{,}29544} =1{,}677419\cdot3{,}38603\approx5{,}9659.(aqui a multiplicação é \dfrac{5{,}2}{3{,}1}=1{,}677419 e \dfrac{1}{\alpha}=3{,}38603.)
  • Finalmente: H \approx 5{,}9659\times1{,}81807\approx10{,}323\\ \text{m}.
Arredondando, a altura necessária da torre é aproximadamente H\approx10{,}32\\ \text{m}.

Resposta

(a) L=68{,}57 mols de água por mol de gás seco (ou L/G\approx68{,}57).
(b) Fração molar do líquido saindo (fundo): x_{2}\approx0{,}0005105 (≈ 0{,}0511\%).
(c) Equações e pontos para desenhar:
Equilíbrio: y=48{,}3\,x.
Curva operacional mínima: y=0{,}002+45{,}714\,x (passa por (0,0{,}002) e (0{,}0007658,0{,}037)).
Curva operacional real: y=0{,}002+68{,}572\,x (passa por (0,0{,}002) e (0{,}0005105,0{,}037)).
(d) Altura da torre: H\approx10{,}32\\ \text{m}.

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