Uma mistura 60:40 de etanol e iso-butanol é um produto de um processo industrial. Precisamos sugerir uma torre de destilação capaz de separar essa mistura para duas, uma contendo 90 \% de etanol, e a outra 90 \% de iso-butanol. Considerando condensador total, e vazão no ponto de bolha segue os seguintes passos:
a. Primeiramente, deve-se avaliar qual seria o número mínimo de etapas de equilibrio capaz de produzir essa mistura. Quantas ctapas são? No caso, essa torre (a menos possível) tem o que de especial em relação as vazões de entrada e saída?
b. O segundo passo é avaliar a razão de resluxo mínimo necessário para obter a separação. Qual é a razão de refluxo mínimo? Que altura tem essa torre?
c. Aplicando 50 \% a mais do refluxo mínimo, qual seria o número de bandejas que a torre precisaria para operar nessas condições?

Passo 1

O enunciado (resumindo e organizando os dados que são relevantes) nos dá:
  • Mistura binária etanol / iso-butanol com alimentação na razão molar 60{:}40. Vou chamar z_F a fração molar do componente mais volátil (etanol) na alimentação:
z_F = 0{,}60.
  • Produto superior (destilado) desejado com 90\% de etanol: x_D = 0{,}90.
  • Produto inferior (resíduo / fundo) desejado com 90\% de iso-butanol, logo a fração de etanol nos fundos é x_B = 0{,}10.
  • Condensador total.
  • A alimentação está no ponto de bolha (alimentação saturada líquida), isto é, q=1.
O que o problema pede, em três etapas:
a) determinar o número mínimo de etapas de equilíbrio necessárias para obter a separação pedida e dizer o que há de especial nessa condição (mínimas etapas);
b) calcular a razão de refluxo mínima R_{min} e comentar “que altura tem essa torre” (interpretação física da altura em R_{min});
c) calcular o número de bandejas que a torre precisa se operar com 50\% a mais do refluxo mínimo (isto é, R = 1{,}5\,R_{min}).
Observação importante que afeta os cálculos: para aplicar as fórmulas (Fenske, Underwood e Gilliland) precisamos da volatilidade relativa (ou volatilidades relativas). Como o enunciado não dá dados de equilíbrio nem uma volatilidade, vou fazer uma hipótese comum em problemas de destilação pedagógicos: assumir volatilidade relativa média constante do etanol em relação ao iso-butanol igual a
\alpha = 3{,}0.
Isso é uma hipótese típica (valor plausível para álcoois com diferença de ponto de ebulição como os dois aqui). Em toda a resolução explico as fórmulas de maneira a permitir que, se tiver outro valor de \alpha, seja fácil recalcular.

Passo 2

Cálculo do número mínimo de etapas usando a equação de Fenske.
A ideia / aula curta: Fenske dá o número mínimo de etapas teóricas (em refluxo total) necessárias para atingir uma razão dada de composição entre destilado e fundos, para mistura binária com volatilidade relativa constante. A equação é
N_{\min} \;=\; \frac{\ln\!\left( \dfrac{x_D/(1-x_D)}{x_B/(1-x_B)} \right)}{\ln \alpha},
onde
  • x_D é a fração molar do componente mais volátil no destilado,
  • x_B é a fração molar do componente mais volátil nos fundos,
  • \alpha é a volatilidade relativa (razão dos coeficientes de equilíbrio K do componente mais volátil para o menos volátil),
  • \ln é o logaritmo natural.
Interpretação: o numerador é a razão entre as odds (razão x/(1-x)) de etanol no topo e no fundo; o denominador é o ganho por estágio (em termos logarítmicos) dado por \alpha. Quanto maior \alpha, menos etapas são necessárias.
Aplicando com os números do problema e \alpha=3{,}0:
Calculemos as odds:
\frac{x_D}{1-x_D}=\frac{0{,}90}{0{,}10}=9, \qquad \frac{x_B}{1-x_B}=\frac{0{,}10}{0{,}90}=\frac{1}{9}.
A razão dessas odds é 9 / (1/9)=81. Logo
N_{\min}=\frac{\ln(81)}{\ln(3)}=\frac{\ln(3^4)}{\ln(3)}=\frac{4\ln 3}{\ln 3}=4.
Explicação do que isto significa (resposta à segunda parte da letra a): o N_{\min} obtido por Fenske corresponde à situação de refluxo total (isto é, refluxo teórico infinito). Em refluxo total não há retirada líquida de destilado — é uma condição conceptual em que a coluna opera apenas com recirculação interna para obter a máxima separação com o menor número de estágios. Por isso, essa torre “mínima possível” é especial: ela corresponde ao caso de refluxo total (ou seja, R\to\infty); na prática isso significa que, para efetivamente produzir destilado/ fundos nas vazões desejadas com aquele número de etapas, seria necessário um refluxo finito, mas o número N_{\min} é a mínima contagem de estágios que, conceitualmente, permitiria a separação se operássemos em refluxo total. Em termos de vazões externas: no caso conceitual de refluxo total não há vazão de produto retirado do topo (D=0 na condição matemática do limite), portanto é uma solução teórica.

Passo 3

Cálculo da razão de refluxo mínima R_{min} usando a fórmula de Underwood (método rápido para multicomponentes que também se aplica ao caso binário).
A ideia / mini-aula: Underwood fornece uma maneira elegante de calcular R_{min} (e também os termos de energia) resolvendo um parâmetro \theta que satisfaz uma equação que envolve a composição da alimentação e as volatilidades relativas. Para mistura binária (com o componente mais volátil tendo volatilidade relativa \alpha em relação ao componente pesado cuja \alpha=1) e alimentação com fração molar de luz z_F, a equação de Underwood para \theta é
\frac{z_F\,\alpha}{\alpha - \theta} + \frac{1-z_F}{1-\theta} = 1.
Após obter \theta, a fórmula para a razão de refluxo mínima é
R_{min} \;=\; \frac{\alpha x_D}{\alpha - \theta} \;+\; \frac{1-x_D}{1-\theta} \;-\; 1.
(Explicação breve: a primeira soma dá a contribuição do topo em termos de “fluxos relativos” na condição mínima; subtrai-se 1 para transformar na forma usual de razão de refluxo.)
Aplicando os números (com \alpha=3{,}0 e z_F=0{,}60):
A equação para \theta é
\frac{0{,}60\cdot 3}{3-\theta} + \frac{0{,}40}{1-\theta} = 1.
Multiplicando e rearranjando (faço as contas devagar para que seja fácil conferir):
\frac{1{,}8}{3-\theta} + \frac{0{,}4}{1-\theta} = 1.
Multiplicando ambos os lados por (3-\theta)(1-\theta) e simplificando obtém-se a equação quadrática (mostrada nos cálculos intermediários) que reduz a
\theta(\theta - 1{,}8) = 0,
portanto as soluções são \theta = 0 ou \theta = 1{,}8. A solução física que leva à razão de refluxo mínima não-trivial é \theta = 1{,}8 (a solução \theta=0 produziria R_{min}=0 trivially, o que não é o caso de interesse para separar fortemente os componentes).
Com \theta = 1{,}8 calculamos R_{min}:
\alpha - \theta = 3 - 1{,}8 = 1{,}2,\qquad 1 - \theta = -0{,}8.
R_{min} = \frac{3\cdot 0{,}90}{1{,}2} + \frac{0{,}10}{-0{,}8} - 1 = \frac{2{,}7}{1{,}2} - 0{,}125 - 1 = 2{,}25 - 0{,}125 - 1 = 1{,}125.
Interpretação física (altura da torre em R_{min}): quando se opera exatamente em R_{min} a coluna precisa de um número de estágios tendendo a infinito para conseguir a separação desejada (há um “pinch” entre a reta de operação e a curva de equilíbrio). Na prática isso significa que R_{min} é o menor refluxo que permite a separação; para realizá-la com um número finito de bandejas tem-se que operar com R > R_{min}. Portanto a “altura” da torre na condição R=R_{min} é teoricamente infinita — é um limite matemático que indica que na prática se trabalha com refluxo maior que R_{min}.

Passo 4

Passo final: com 50\% a mais de refluxo mínimo ( R = 1{,}5\,R_{min}), estimar o número de bandejas usando a correlação de Gilliland.
Aula curta sobre Gilliland: Gilliland dá uma correlação empírica que relaciona a redução no número de estágios quando se aumenta o refluxo acima do mínimo. Define-se as variáveis normalizadas
X = \frac{R - R_{min}}{R + 1}, \qquad Y = \frac{N - N_{\min}}{N + 1},
onde N é o número real de estágios (teóricos) necessário para a separação à razão de refluxo R e N_{\min} é o número mínimo de estágios (resultado de Fenske). Gilliland fornece uma curva (ou a expressão empírica) Y=f(X). Uma forma prática e comum de avaliação numérica usa a expressão empírica aproximada
Y \approx 1 - \exp\!\Bigg( \frac{1+54{,}4X}{11+117{,}2X}\,(X-1)\Bigg).
Dado X esta fórmula dá Y, e então resolve-se para N por
Y = \frac{N - N_{\min}}{N + 1} \quad\Rightarrow\quad N = \frac{N_{\min} + Y}{1 - Y}.
Aplicando com R_{min}=1{,}125 e N_{\min}=4, e primeiro obtendo R = 1{,}5 R_{min}:
R = 1{,}5 \times 1{,}125 = 1{,}6875.
Calcule X:
X = \frac{1{,}6875 - 1{,}125}{1{,}6875 + 1} = \frac{0{,}5625}{2{,}6875} \approx 0{,}2093.
Agora aplicando a fórmula empírica de Gilliland:
  • Calcule o coeficiente da exponencial:
A = \frac{1 + 54{,}4X}{11 + 117{,}2X} = \frac{1 + 54{,}4\cdot 0{,}2093}{11 + 117{,}2\cdot 0{,}2093} \approx \frac{12{,}385}{35{,}516} \approx 0{,}3487.
  • O argumento do exponencial é A\,(X-1)\approx 0{,}3487\cdot(-0{,}7907)\approx -0{,}2755.
  • Logo a exponencial é \exp(-0{,}2755)\approx 0{,}759 e portanto
Y \approx 1 - 0{,}759 = 0{,}241.
Finalmente,
N = \frac{N_{\min} + Y}{1 - Y} = \frac{4 + 0{,}241}{1 - 0{,}241} = \frac{4{,}241}{0{,}759} \approx 5{,}59.
Interpretação prática: são necessários cerca de 5{,}6 estágios teóricos. Em projeto de coluna convém arredondar para cima para garantir a especificação, portanto usaríamos 6 estágios teóricos (obs.: dependendo da convenção do enunciado, às vezes se conta a cuba como um estágio; aqui estamos contando “estágios teóricos” no sentido usual das correlações de Fenske/Gilliland).

Passo 5

Resumo das hipóteses, como recalcular se necessário e incentivo rápido:
  • Hipótese usada: volatilidade relativa constante \alpha = 3{,}0 e alimentação saturada líquida ( q=1). Se tiver outro valor de \alpha (ou curva VLE), repetir os passos: Fenske para N_{\min}, Underwood para \theta e R_{min}, e Gilliland para N a um dado R.
  • Num projeto real usar-se-iam dados VLE experimentais (ou de regressão) para \alpha ou uma curva y(x); os procedimentos são os mesmos, apenas as contas numéricas mudam.
Boa notícia: com a hipótese \alpha=3{,}0 o problema fecha com números bem simples — isso facilita checar na prova. Força aí — já fizemos o caminho completo e você consegue replicar com outro \alpha se o professor der outro valor.

Resposta

(a) N_{\min}=4 etapas; essa coluna mínima corresponde ao caso de refluxo total ( R\to\infty) — conceitualmente não há retirada de destilado nesse limite.
(b) R_{min}=1{,}125. Na condição R=R_{min} o número de estágios tende a infinito (ou seja, altura teoricamente infinita — é um limite matemático).
(c) Com R=1{,}5\,R_{min}=1{,}6875 obtém-se aproximadamente N\approx5{,}59, portanto projetar 6 estágios teóricos.

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