Uma mistura 60:40 de etanol e iso-butanol é um produto de um processo industrial. Precisamos sugerir uma torre de destilação capaz de separar essa mistura para duas, uma contendo
de etanol, e a outra
de iso-butanol. Considerando condensador total, e vazão no ponto de bolha segue os seguintes passos:
a. Primeiramente, deve-se avaliar qual seria o número mínimo de etapas de equilibrio capaz de produzir essa mistura. Quantas ctapas são? No caso, essa torre (a menos possível) tem o que de especial em relação as vazões de entrada e saída?
b. O segundo passo é avaliar a razão de resluxo mínimo necessário para obter a separação. Qual é a razão de refluxo mínimo? Que altura tem essa torre?
c. Aplicando
a mais do refluxo mínimo, qual seria o número de bandejas que a torre precisaria para operar nessas condições?
a. Primeiramente, deve-se avaliar qual seria o número mínimo de etapas de equilibrio capaz de produzir essa mistura. Quantas ctapas são? No caso, essa torre (a menos possível) tem o que de especial em relação as vazões de entrada e saída?
b. O segundo passo é avaliar a razão de resluxo mínimo necessário para obter a separação. Qual é a razão de refluxo mínimo? Que altura tem essa torre?
c. Aplicando
Passo 1
O enunciado (resumindo e organizando os dados que são relevantes) nos dá:
- Mistura binária etanol / iso-butanol com alimentação na razão molar
. Vou chamar a fração molar do componente mais volátil (etanol) na alimentação:
- Produto superior (destilado) desejado com
de etanol: . - Produto inferior (resíduo / fundo) desejado com
de iso-butanol, logo a fração de etanol nos fundos é . - Condensador total.
- A alimentação está no ponto de bolha (alimentação saturada líquida), isto é,
.
O que o problema pede, em três etapas:
a) determinar o número mínimo de etapas de equilíbrio necessárias para obter a separação pedida e dizer o que há de especial nessa condição (mínimas etapas);
b) calcular a razão de refluxo mínima e comentar “que altura tem essa torre” (interpretação física da altura em
);
c) calcular o número de bandejas que a torre precisa se operar com a mais do refluxo mínimo (isto é,
).
a) determinar o número mínimo de etapas de equilíbrio necessárias para obter a separação pedida e dizer o que há de especial nessa condição (mínimas etapas);
b) calcular a razão de refluxo mínima
c) calcular o número de bandejas que a torre precisa se operar com
Observação importante que afeta os cálculos: para aplicar as fórmulas (Fenske, Underwood e Gilliland) precisamos da volatilidade relativa (ou volatilidades relativas). Como o enunciado não dá dados de equilíbrio nem uma volatilidade, vou fazer uma hipótese comum em problemas de destilação pedagógicos: assumir volatilidade relativa média constante do etanol em relação ao iso-butanol igual a
Isso é uma hipótese típica (valor plausível para álcoois com diferença de ponto de ebulição como os dois aqui). Em toda a resolução explico as fórmulas de maneira a permitir que, se tiver outro valor de
, seja fácil recalcular.
Passo 2
Cálculo do número mínimo de etapas usando a equação de Fenske.
A ideia / aula curta: Fenske dá o número mínimo de etapas teóricas (em refluxo total) necessárias para atingir uma razão dada de composição entre destilado e fundos, para mistura binária com volatilidade relativa constante. A equação é
onde
-
é a fração molar do componente mais volátil no destilado, -
é a fração molar do componente mais volátil nos fundos, -
é a volatilidade relativa (razão dos coeficientes de equilíbrio do componente mais volátil para o menos volátil), -
é o logaritmo natural.
Interpretação: o numerador é a razão entre as odds (razão
) de etanol no topo e no fundo; o denominador é o ganho por estágio (em termos logarítmicos) dado por
. Quanto maior
, menos etapas são necessárias.
Aplicando com os números do problema e
:
Calculemos as odds:
A razão dessas odds é
. Logo
Explicação do que isto significa (resposta à segunda parte da letra a): o
obtido por Fenske corresponde à situação de refluxo total (isto é, refluxo teórico infinito). Em refluxo total não há retirada líquida de destilado — é uma condição conceptual em que a coluna opera apenas com recirculação interna para obter a máxima separação com o menor número de estágios. Por isso, essa torre “mínima possível” é especial: ela corresponde ao caso de refluxo total (ou seja,
); na prática isso significa que, para efetivamente produzir destilado/ fundos nas vazões desejadas com aquele número de etapas, seria necessário um refluxo finito, mas o número
é a mínima contagem de estágios que, conceitualmente, permitiria a separação se operássemos em refluxo total. Em termos de vazões externas: no caso conceitual de refluxo total não há vazão de produto retirado do topo (D=0 na condição matemática do limite), portanto é uma solução teórica.
Passo 3
Cálculo da razão de refluxo mínima
usando a fórmula de Underwood (método rápido para multicomponentes que também se aplica ao caso binário).
A ideia / mini-aula: Underwood fornece uma maneira elegante de calcular
(e também os termos de energia) resolvendo um parâmetro
que satisfaz uma equação que envolve a composição da alimentação e as volatilidades relativas. Para mistura binária (com o componente mais volátil tendo volatilidade relativa
em relação ao componente pesado cuja
) e alimentação com fração molar de luz
, a equação de Underwood para
é
Após obter
, a fórmula para a razão de refluxo mínima é
(Explicação breve: a primeira soma dá a contribuição do topo em termos de “fluxos relativos” na condição mínima; subtrai-se 1 para transformar na forma usual de razão de refluxo.)
Aplicando os números (com
e
):
A equação para é
A equação para
Multiplicando e rearranjando (faço as contas devagar para que seja fácil conferir):
Multiplicando ambos os lados por
e simplificando obtém-se a equação quadrática (mostrada nos cálculos intermediários) que reduz a
portanto as soluções são
ou
. A solução física que leva à razão de refluxo mínima não-trivial é
(a solução
produziria
trivially, o que não é o caso de interesse para separar fortemente os componentes).
Com
calculamos
:
Interpretação física (altura da torre em
): quando se opera exatamente em
a coluna precisa de um número de estágios tendendo a infinito para conseguir a separação desejada (há um “pinch” entre a reta de operação e a curva de equilíbrio). Na prática isso significa que
é o menor refluxo que permite a separação; para realizá-la com um número finito de bandejas tem-se que operar com
. Portanto a “altura” da torre na condição
é teoricamente infinita — é um limite matemático que indica que na prática se trabalha com refluxo maior que
.
Passo 4
Passo final: com
a mais de refluxo mínimo (
), estimar o número de bandejas usando a correlação de Gilliland.
Aula curta sobre Gilliland: Gilliland dá uma correlação empírica que relaciona a redução no número de estágios quando se aumenta o refluxo acima do mínimo. Define-se as variáveis normalizadas
onde
é o número real de estágios (teóricos) necessário para a separação à razão de refluxo
e
é o número mínimo de estágios (resultado de Fenske). Gilliland fornece uma curva (ou a expressão empírica)
. Uma forma prática e comum de avaliação numérica usa a expressão empírica aproximada
Dado
esta fórmula dá
, e então resolve-se para
por
Aplicando com
e
, e primeiro obtendo
:
Calcule
:
Agora aplicando a fórmula empírica de Gilliland:
- Calcule o coeficiente da exponencial:
- O argumento do exponencial é
. - Logo a exponencial é
e portanto
Finalmente,
Interpretação prática: são necessários cerca de
estágios teóricos. Em projeto de coluna convém arredondar para cima para garantir a especificação, portanto usaríamos
estágios teóricos (obs.: dependendo da convenção do enunciado, às vezes se conta a cuba como um estágio; aqui estamos contando “estágios teóricos” no sentido usual das correlações de Fenske/Gilliland).
Passo 5
Resumo das hipóteses, como recalcular se necessário e incentivo rápido:
- Hipótese usada: volatilidade relativa constante
e alimentação saturada líquida ( ). Se tiver outro valor de (ou curva VLE), repetir os passos: Fenske para , Underwood para e , e Gilliland para a um dado . - Num projeto real usar-se-iam dados VLE experimentais (ou de regressão) para
ou uma curva ; os procedimentos são os mesmos, apenas as contas numéricas mudam.
Boa notícia: com a hipótese
o problema fecha com números bem simples — isso facilita checar na prova. Força aí — já fizemos o caminho completo e você consegue replicar com outro
se o professor der outro valor.
Resposta
(a)
etapas; essa coluna mínima corresponde ao caso de refluxo total (
) — conceitualmente não há retirada de destilado nesse limite.
(b) . Na condição
o número de estágios tende a infinito (ou seja, altura teoricamente infinita — é um limite matemático).
(c) Com obtém-se aproximadamente
, portanto projetar
estágios teóricos.
(b)
(c) Com