2- Esquematize e defina matematicamente a lei de Newton da viscosidade. Como essa lei influência no escoamento de fluidos em tubulaçōes? (1,0)

Passo 1

O enunciado pede para esquematizar e definir matematicamente a lei de Newton da viscosidade e comentar como ela influencia o escoamento em tubulações. O conteúdo é mecânica dos fluidos, em particular a relação entre tensão de cisalhamento e gradiente de velocidade num fluido newtoniano, e a aplicação dessa lei ao escoamento laminar em tubos.

Passo 2

Esquematicamente imagine um fluido aprisionado entre duas placas planas paralelas, separadas por uma distância ,h. A placa superior desliza à velocidade ,U enquanto a inferior está fixa. Nesse “corte” transversal, o perfil de velocidade u(y) varia de u(0)=0 a u(h)=U, e o fluido sofre uma tensão de cisalhamento tau devido ao movimento relativo das camadas.

Passo 3

A lei de Newton da viscosidade estabelece que, para um fluido newtoniano, a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade perpendicular ao escoamento. Matematicamente, em coordenadas cartesianas:
onde
é a tensão de cisalhamento (Pa),
é a viscosidade dinâmica do fluido (P ),
é o gradiente de velocidade ().

Passo 4

Em escoamento laminar em um tubo circular de raio R e comprimento L, a única força que mantém o fluido em movimento é o gradiente de pressão dp/dz. Do equilíbrio de forças em uma casca cilíndrica de raio r surge
taurz(r);=;mu,dvzdr ;=; -r2,dpdz
Integramos em r, impondo vz(R)=0 e ldvz/drr|r=0=0, para obter o perfil de velocidade:
vz(r) = -14mu,dpdz l(R^2-r^2r)
Isso mostra que o perfil é parabólico, resultado direto da proporcionalidade entre tensão e gradiente de velocidade.

Passo 5

A partir do perfil podemos calcular a vazão volumétrica
Q = integral0^R vz(r),2pi r,dr
e encontra-se a lei de Poiseuille:
Q = pi R^48mu L,De<a p,
com De<a p= pin - pout. Logo, a lei de Newton da viscosidade faz com que o escoamento numa tubulação laminar tenha perfil parabólico e que a perda de carga seja diretamente proporcional à vazão e à viscosidade, e inversamente proporcional a R^4.

Resposta

A lei de Newton da viscosidade é
tauxy=mu,dudy,
e, em tubos sob escoamento laminar, ela gera perfil de velocidade parabólico
vz(r)=-14mudpdz(R^2-r^2)
e a relação de Poiseuille
Q=pi R^48mu L,De<a p

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