2- Esquematize e defina matematicamente a lei de Newton da viscosidade. Como essa lei influência no escoamento de fluidos em tubulaçōes?
Passo 1
O enunciado pede para esquematizar e definir matematicamente a lei de Newton da viscosidade e comentar como ela influencia o escoamento em tubulações. O conteúdo é mecânica dos fluidos, em particular a relação entre tensão de cisalhamento e gradiente de velocidade num fluido newtoniano, e a aplicação dessa lei ao escoamento laminar em tubos.
Passo 2
Esquematicamente imagine um fluido aprisionado entre duas placas planas paralelas, separadas por uma distância . A placa superior desliza à velocidade enquanto a inferior está fixa. Nesse “corte” transversal, o perfil de velocidade varia de a , e o fluido sofre uma tensão de cisalhamento devido ao movimento relativo das camadas.
Passo 3
A lei de Newton da viscosidade estabelece que, para um fluido newtoniano, a tensão de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade perpendicular ao escoamento. Matematicamente, em coordenadas cartesianas:
onde é a tensão de cisalhamento (Pa), é a viscosidade dinâmica do fluido (P), é o gradiente de velocidade ().
Passo 4
Em escoamento laminar em um tubo circular de raio e comprimento , a única força que mantém o fluido em movimento é o gradiente de pressão . Do equilíbrio de forças em uma casca cilíndrica de raio surge
Integramos em , impondo e , para obter o perfil de velocidade:
vz(r) = -14mu,dpdz l(R^2-r^2r)
Isso mostra que o perfil é parabólico, resultado direto da proporcionalidade entre tensão e gradiente de velocidade.
Passo 5
A partir do perfil podemos calcular a vazão volumétrica
Q = integral0^R vz(r),2pi r,dr
e encontra-se a lei de Poiseuille:
Q = pi R^48mu L,De<a p,
com De<a p= pin - pout. Logo, a lei de Newton da viscosidade faz com que o escoamento numa tubulação laminar tenha perfil parabólico e que a perda de carga seja diretamente proporcional à vazão e à viscosidade, e inversamente proporcional a R^4.
Resposta
A lei de Newton da viscosidade é
tauxy=mu,dudy,
e, em tubos sob escoamento laminar, ela gera perfil de velocidade parabólico