Considere o modelo para um nível não autorregulatório em um tanque.
rho A d hd t=Fentra-Fsai
na qual h é o nível do tanque (inicialmente 2 m ), rho é a massa específica do fluido ( 1 kg / L ), A é a área da seção transversal do tanque (0,3 m^2), F entra é a vazão mássica na entrada ( 1,0 kg / s) e F sai é a vazão mássica na saída (inicialmente 1,0 kg / s ). Projete um controlador pela especificação de polo, de modo que o sistema em malha fechada não tenha nenhum desvio permanente, e a constante de tempo em malha fechada é 25 s , considerando a vazão na saída como a VM.

Passo 1

Beleza, o exercício é sobre um tanque não autorregulatório cuja dinâmica é
rho,A,dhdt=Fentra-Fsai,
onde:
  • é o nível do tanque,
  • (ou seja, em unidades consistentes),
  • ,
  • (fluxo de entrada),
  • é o fluxo de saída e é a nossa variável manipulada.
O que a gente precisa fazer: projetar um controlador de realimentação por especificação de polo, de modo que
  1. Não haja desvio permanente ao aplicar um degrau de referência (erro em regime permanente zero).
  2. A constante de tempo em malha fechada seja .
Para isso vamos usar a teoria de realimentação simples: conhecer a função de transferência do processo, escolher um controlador proporcional e colocar o polo em .

Passo 2

Vamos modelar em Laplace: definindo
Gp(s);=;H(s)Fsai(s)
pegando a equação diferencial Gp(s) =1rho,A,s ; , isolamos L(s)=Kp,Gp(s)=Kprho A,s e obtemos
T(s) =L(s)1+L(s) =tfracKprho A,s1+tfracKprho A,s =tfracKprho As+tfracKprho A
Ou seja, o processo é um integrador com ganho s=-Kprho,A Longrightarrow tauc=1l|,polor| =rho,AKp .
Se colocarmos um controlador proporcional em malha fechada, a função de laço aberto é
E a função de transferência em malha fechada (de referência para saída) fica
Isso é um sistema de primeira ordem com polo em

Passo 3

Queremos que tauc=rho,AKp=25 . Da fórmula
Kp=rho,A25 =1cdot 0,325 =0,012l[tfrackg/smr]

Passo 4

Por que o erro em regime permanente é zero?
Porque o processo já é um integrador ( ) e, com controlador proporcional, formamos um sistema tipo 1. Um sistema tipo 1 tem erro zero para degrau de referência — ou seja, sem desvio permanente.

Resposta

O controlador ótimo, seguindo a especificação de polo e garantindo erro permanente zero, é um controlador proporcional com ganho
boxedKp = 0,012;(kg/s,/,m)

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