Esquematize o local das raízes para a função de transferência em malha aberta de o sistema de controle feedback dado abaixo e determine:
O valor de K para estabilidade marginal
G(s)=Ks(s+1)(s+3)

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente “esquematizar” o local das raízes (root locus) de
G(s)=Ks(s+1)(s+3)
e ainda achar o valor de pra estabilidade marginal. Isso envolve teoria de root locus (onde caem as raízes conforme varia) e Routh–Hurwitz (pra achar o ponto em que elas ficam no eixo imaginário). Vamos usar os seguintes ingredientes:
• Identificar polos e zeros de
• Regras do root locus (eixo real, assíntotas…)
• Tabela de Routh pra achar a borda da estabilidade

Passo 2

Primeiro, os polos abertos de p1=0, p2=-1, p3=-3 são as raízes de , ou seja:
Não há zeros finitos ( só tem zero no infinito, três ramos saindo para lá).

Passo 3

Regras do eixo real: o root locus fica em trechos do eixo real onde o número de polos+zeros à direita é ímpar.
• Para : temos 3 polos à direita → ímpar → está no locus.
• Entre e : 2 polos à direita → par → fora.
• Entre e : 1 polo à direita → ímpar → está no locus.
• Para : 0 polos à direita → par → fora.

Passo 4

Assíntotas (pois 3 polos e 0 zeros → 3 ramos vão pro infinito) têm ângulos
thetak = (2k+1)pi3, k=0,1,2
isto é, sigmaA = sum pi - sum zj3-0 = (0)+(-1)+(-3)3 = -tfrac43 , todas cruzando o eixo real no centro (centroide)

Passo 5

Pra achar 1 + G(s) = 0 ;Longrightarrow; s(s+1)(s+3) + K = 0 ;Longrightarrow; s^3 + 4s^2 + 3s + K = 0 de estabilidade marginal, montamos a característica fechada:
c|cc s^3 & 1 & 3 [3pt] s^2 & 4 & K [3pt] s^1 & 4cdot 3 - 1cdot K4 = 12 - K4 & 0 [3pt] s^0 & K &
Agora a tabela de Routh:
K > 0, 12 - K > 0 ;Longrightarrow; 0 < K < 12
Condição de estabilidade: todas entradas da primeira coluna > 0 →
Em a linha fica zero → raiz imag. pura → estabilidade marginal.

Resposta

O valor de boxedK = 12 para estabilidade marginal é

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