Considere o controle de um motor DC, que é, normalmente, encontrado nas indústrias de biotecnologia (por exemplo, controle da velocidade de um misturador em um biorreator). A função de transferência a seguir representa o desempenho de um motor DC.
na qual
é a velocidade rotacional do eixo do motor e
é a voltagem aplicada. É desejado projetar um sistema de controle para um motor DC que forneça operação livre de offset.
Determine a função de transferência em malha fechada para mudanças de setpoint e determine as condições sob as quais este sistema pode tornar-se instável, se apropriado.
Determine a função de transferência em malha fechada para mudanças de setpoint e determine as condições sob as quais este sistema pode tornar-se instável, se apropriado.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem um motor DC cuja função de transferência entre a velocidade angular
e a tensão aplicada
é
Queremos projetar um controlador que não deixe haver offset (erro em regime permanente) quando mudamos o setpoint, e analisar se o sistema pode ficar instável.
Conteúdo: teoria de sistemas de controle em malha fechada, tipo de sistema (número de integrações), cálculo da função de transferência em malha fechada e critério de estabilidade (Routh-Hurwitz).
Conteúdo: teoria de sistemas de controle em malha fechada, tipo de sistema (número de integrações), cálculo da função de transferência em malha fechada e critério de estabilidade (Routh-Hurwitz).
Passo 2
Primeiro, vamos fechar a malha usando um controlador simples
, por exemplo um ganho proporcional
.
Em realimentação unitária, a TF em malha fechada de referência para saída
é
Em realimentação unitária, a TF em malha fechada de referência
Para simplificar, multiplico numerador e denominador por
:
Passo 3
Agora, estabilidade: a equação característica é
Pelo critério de Routh–Hurwitz para um polinômio
, a condição de estabilidade é
No nosso caso:
-
(o tempo de constante é positivo); -
; -
Como
(ganho do motor), para
a gente precisa de
Se
virar negativo, a realimentação passa a ser positiva e o sistema fica instável.
Resposta
Função de transferência em malha fechada (setpoint para saída):
Condição de instabilidade: o sistema torna-se instável se o ganho do controlador
for menor que zero (pois aí
e viola o critério de estabilidade).