Considere o controle de um motor DC, que é, normalmente, encontrado nas indústrias de biotecnologia (por exemplo, controle da velocidade de um misturador em um biorreator). A função de transferência a seguir representa o desempenho de um motor DC.
thetam(s)VA(s)=Kps(taup s+1)
na qual thetam é a velocidade rotacional do eixo do motor e VA é a voltagem aplicada. É desejado projetar um sistema de controle para um motor DC que forneça operação livre de offset.
Determine a função de transferência em malha fechada para mudanças de setpoint e determine as condições sob as quais este sistema pode tornar-se instável, se apropriado.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um motor DC cuja função de transferência entre a velocidade angular G(s);=;thetam(s)VA(s) ;=;Kps,(taup,s+1) e a tensão aplicada é
Queremos projetar um controlador que não deixe haver offset (erro em regime permanente) quando mudamos o setpoint, e analisar se o sistema pode ficar instável.
Conteúdo: teoria de sistemas de controle em malha fechada, tipo de sistema (número de integrações), cálculo da função de transferência em malha fechada e critério de estabilidade (Routh-Hurwitz).

Passo 2

Primeiro, vamos fechar a malha usando um controlador simples T(s);=;C(s),G(s)1 + C(s),G(s) ;=; K;dfracKps(taup s+1)1 + K;dfracKps(taup s+1) , por exemplo um ganho proporcional T(s) ;=; K,Kps(taup s+1) + K,Kp ;=; K,Kptaup,s^2 + s + K,Kp .
Em realimentação unitária, a TF em malha fechada de referência para saída é
Para simplificar, multiplico numerador e denominador por :

Passo 3

Agora, estabilidade: a equação característica é
taup,s^2 + s + K,Kp = 0
Pelo critério de Routh–Hurwitz para um polinômio a2 > 0, a1 > 0, a0 > 0 , a condição de estabilidade é
K > 0
No nosso caso:
  • (o tempo de constante é positivo);
  • ;
Como (ganho do motor), para a gente precisa de
Se virar negativo, a realimentação passa a ser positiva e o sistema fica instável.

Resposta

Função de transferência em malha fechada (setpoint para saída):
boxedT(s) = K,Kptaup,s^2 + s + K,Kp
Condição de instabilidade: o sistema torna-se instável se o ganho do controlador for menor que zero (pois aí e viola o critério de estabilidade).

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