Para a seguinte função de transferência de processo dada,
Gp(s)=(-s+1)(s+1)(s+2)
e o polinômio característico do sistema em malha fechada 1+Gc Gp=0, se quisermos usar um controlador proporcional simples, responda às seguintes perguntas:
A partir deste exercício, você pode dizer a lógica por trás, por exemplo, do uso da aproximação de Padé 1 / 1, e o efeito geral do atraso de tempo em um dado sistema?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos e o que precisamos.
Enunciado:
• Processo:
Gp(s)=-s+1(s+1)(s+2)
• Malha fechada com controlador proporcional simples 1 + Gc;Gp = 0 , característico:
Pergunta principal:
  1. Qual a lógica de usar a aproximação de Padé de ordem 1/1 pra um atraso de tempo?
  2. Qual o efeito geral de atraso de tempo num sistema de controle?
Conteúdo: teoria de aproximação de atraso por Padé e análise de efeitos de atraso (fase, estabilidade, desempenho).
Vamos precisar:
– Noção de atraso em laplace
– Como aproximar esse termo por uma razão de polinômios (Padé 1/1)
– Entender qualitativamente como atraso afeta fase, margem de estabilidade e resposta.

Passo 2

Teoria do atraso de tempo:
Quando seu processo tem atraso puro e^-sTapprox uma função racional em s , esse termo não é um polinômio em , fica difícil usar métodos de estudo de estabilidade (ex.: Routh, locus).
Por isso a gente “aproxima”
çã
A aproximação de Padé ordenada 1/1 é a mais simples: usa um polinômio de grau 1 no numerador e no denominador pra imitar o atraso. Assim já dá pra juntar com o resto da planta e analisar normalmente.

Passo 3

Derivando a Padé 1/1:
A ordem 1/1 significa que a gente quer
e^-sT approx a0 + a1 sb0 + b1 s
Fazendo a expansão em série de Taylor até e^-sT approx 1 - tfracsT21 + tfracsT2 e igualando, chega-se ao resultado padrão:
– Numerador “atrasado” linearmente.
– Denominador faz a compensação pra manter amplitude quase 1 nos baixos .

Passo 4

Lógica de usar essa aproximação:
  1. Passa de um termo exponencial pra algo racional fácil de embarcar no controlador e no critério de estabilidade.
  2. Como pra controlador proporcional a gente só lida com polinômios, a Padé nos permite incluir o atraso e ainda aplicar locus de raízes, Routh, grãos de Nyquist etc.
  3. A ordem 1/1 é um “meio termo”: capta o principal efeito de fase e atraso sem complicar demais o modelo.

Passo 5

Efeito geral do atraso de tempo:
  1. Adiciona defasagem (fase negativa extra), rolando o diagrama de Bode pra baixo.
  2. Reduz a margem de fase e de ganho, deixando o sistema mais perto da instabilidade.
  3. Aumenta o tempo de assentamento e causa overshoot maior se não for compensado.
  4. Em resumo: torna o sistema mais lento e mais “susceptível” a oscilações.

Resposta

• A Padé 1/1 é usada porque transforma o atraso num quociente de polinômios , permitindo aplicar análise de estabilidade (Routh, locus, Nyquist) normalmente.
• O atraso de tempo injeta defasagem extra no sistema, reduz margens de ganho/fase e tende a tornar a resposta mais lenta, com maior overshoot e risco de instabilidade.

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