Para a seguinte função de transferência de processo dada,
e o polinômio característico do sistema em malha fechada
, se quisermos usar um controlador proporcional simples, responda às seguintes perguntas:
A partir deste exercício, você pode dizer a lógica por trás, por exemplo, do uso da aproximação de Padé
, e o efeito geral do atraso de tempo em um dado sistema?
A partir deste exercício, você pode dizer a lógica por trás, por exemplo, do uso da aproximação de Padé
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que temos e o que precisamos.
Enunciado:
• Processo:
Enunciado:
• Processo:
• Malha fechada com controlador proporcional simples
, característico:
Pergunta principal:
- Qual a lógica de usar a aproximação de Padé de ordem 1/1 pra um atraso de tempo?
- Qual o efeito geral de atraso de tempo num sistema de controle?
Conteúdo: teoria de aproximação de atraso por Padé e análise de efeitos de atraso (fase, estabilidade, desempenho).
Vamos precisar:
– Noção de atraso em laplace
– Como aproximar esse termo por uma razão de polinômios (Padé 1/1)
– Entender qualitativamente como atraso afeta fase, margem de estabilidade e resposta.
Vamos precisar:
– Noção de atraso em laplace
– Como aproximar esse termo por uma razão de polinômios (Padé 1/1)
– Entender qualitativamente como atraso afeta fase, margem de estabilidade e resposta.
Passo 2
Teoria do atraso de tempo:
Quando seu processo tem atraso puro , esse termo não é um polinômio em
, fica difícil usar métodos de estudo de estabilidade (ex.: Routh, locus).
Por isso a gente “aproxima”
Quando seu processo tem atraso puro
Por isso a gente “aproxima”
A aproximação de Padé ordenada 1/1 é a mais simples: usa um polinômio de grau 1 no numerador e no denominador pra imitar o atraso. Assim já dá pra juntar com o resto da planta e analisar normalmente.
Passo 3
Derivando a Padé 1/1:
A ordem 1/1 significa que a gente quer
A ordem 1/1 significa que a gente quer
Fazendo a expansão em série de Taylor até
e igualando, chega-se ao resultado padrão:
– Numerador “atrasado” linearmente.
– Denominador faz a compensação pra manter amplitude quase 1 nos baixos .
– Denominador faz a compensação pra manter amplitude quase 1 nos baixos
Passo 4
Lógica de usar essa aproximação:
- Passa de um termo exponencial pra algo racional fácil de embarcar no controlador e no critério de estabilidade.
- Como pra controlador proporcional a gente só lida com polinômios, a Padé nos permite incluir o atraso e ainda aplicar locus de raízes, Routh, grãos de Nyquist etc.
- A ordem 1/1 é um “meio termo”: capta o principal efeito de fase e atraso sem complicar demais o modelo.
Passo 5
Efeito geral do atraso de tempo:
- Adiciona defasagem (fase negativa extra), rolando o diagrama de Bode pra baixo.
- Reduz a margem de fase e de ganho, deixando o sistema mais perto da instabilidade.
- Aumenta o tempo de assentamento e causa overshoot maior se não for compensado.
- Em resumo: torna o sistema mais lento e mais “susceptível” a oscilações.
Resposta
• A Padé 1/1 é usada porque transforma o atraso
num quociente de polinômios
, permitindo aplicar análise de estabilidade (Routh, locus, Nyquist) normalmente.
• O atraso de tempo injeta defasagem extra no sistema, reduz margens de ganho/fase e tende a tornar a resposta mais lenta, com maior overshoot e risco de instabilidade.
• O atraso de tempo injeta defasagem extra no sistema, reduz margens de ganho/fase e tende a tornar a resposta mais lenta, com maior overshoot e risco de instabilidade.