Demonstre a relação mínima r / R para um número de coordenação igual a seis (6).

Passo 1

O que o enunciado pede: demonstrar a relação mínima entre os raios r (do íon/cátionsito pequeno no centro) e R (dos íons maiores que o rodeiam) quando o número de coordenação é seis ( 6).
Informações relevantes (assumidas como padrão nesse tipo de problema): seis esferas de raio R rodeiam uma esfera central de raio r de modo que a central toque cada uma das seis externas. Para obter a condição mínima para r (o menor r que ainda permite contato com as seis vizinhas) assumimos que as seis esferas externas formam a configuração mais apertada possível — isto é, seus centros ocupam os centros das faces de um cubo (configuração octaédrica) e esferas adjacentes estão em contato quando necessário para definir o caso crítico. A pergunta a responder é: qual o menor valor de \dfrac{r}{R} que permite essa coordenação 6?

Passo 2

Descrevendo a geometria que usamos (explicação passo a passo e motivo): coloque um cubo de aresta a. Os centros das seis esferas externas (cada uma de raio R) podem ser escolhidos como os centros das faces do cubo; estes pontos têm coordenadas
\left(\pm\frac{a}{2},0,0\right),\quad\left(0,\pm\frac{a}{2},0\right),\quad\left(0,0,\pm\frac{a}{2}\right).
Esses seis pontos formam um octaedro regular com o centro do cubo no ponto (0,0,0). O íon central (raio r) fica no centro do cubo; sua distância até o centro de cada esfera externa é \dfrac{a}{2}. Portanto, se a esfera central toca uma externa, vale
r+R=\frac{a}{2}.
Explico: isso vem da condição de tangência entre duas esferas — a distância entre os centros é a soma dos raios.

Passo 3

Agora relacionamos a e R usando que as esferas externas, em posição crítica, tocam-se entre si ao longo das arestas do octaedro. Pegue duas faces adjacentes do cubo, por exemplo os centros \left(\dfrac{a}{2},0,0\right) e \left(0,\dfrac{a}{2},0\right). A distância entre esses dois centros (aresta do octaedro) é
\text{aresta}=\sqrt{\left(\frac{a}{2}-0\right)^{2}+\left(0-\frac{a}{2}\right)^{2}+0^{2}}=\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}.
Se as esferas externas se tangenciam ao longo dessa aresta, a distância entre os centros delas é igual a 2R. Logo, no caso crítico:
\frac{a}{\sqrt{2}}=2R.

Passo 4

Resolva a equação anterior para a. Temos
a=2R\sqrt{2}.
Agora volte à relação entre r, R e a dada no Passo 2, que era r+R=\dfrac{a}{2}. Substituindo a obtemos
r+R=\frac{2R\sqrt{2}}{2}=R\sqrt{2}.

Passo 5

Isolando r da equação anterior:
r=R\sqrt{2}-R=R\bigl(\sqrt{2}-1\bigr).
Dividindo ambos os lados por R obtemos a relação pedida entre os raios:
\frac{r}{R}=\sqrt{2}-1.

Passo 6

Interpretação final e valor numérico: a expressão \sqrt{2}-1 é o valor mínimo do quociente r/R para que um íon pequeno possa encaixar tocando seis íons grandes dispostos em configuração octaédrica. Numericamente,
\sqrt{2}-1\approx 0,4142.

Resposta

\dfrac{r}{R}=\sqrt{2}-1\approx 0,4142

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