Demonstre a relação mínima
para um número de coordenação igual a seis (6).
Passo 1
O que o enunciado pede: demonstrar a relação mínima entre os raios
(do íon/cátionsito pequeno no centro) e
(dos íons maiores que o rodeiam) quando o número de coordenação é seis (
).
Informações relevantes (assumidas como padrão nesse tipo de problema): seis esferas de raio rodeiam uma esfera central de raio
de modo que a central toque cada uma das seis externas. Para obter a condição mínima para
(o menor
que ainda permite contato com as seis vizinhas) assumimos que as seis esferas externas formam a configuração mais apertada possível — isto é, seus centros ocupam os centros das faces de um cubo (configuração octaédrica) e esferas adjacentes estão em contato quando necessário para definir o caso crítico. A pergunta a responder é: qual o menor valor de
que permite essa coordenação 6?
Informações relevantes (assumidas como padrão nesse tipo de problema): seis esferas de raio
Passo 2
Descrevendo a geometria que usamos (explicação passo a passo e motivo): coloque um cubo de aresta
. Os centros das seis esferas externas (cada uma de raio
) podem ser escolhidos como os centros das faces do cubo; estes pontos têm coordenadas
Esses seis pontos formam um octaedro regular com o centro do cubo no ponto
. O íon central (raio
) fica no centro do cubo; sua distância até o centro de cada esfera externa é
. Portanto, se a esfera central toca uma externa, vale
Explico: isso vem da condição de tangência entre duas esferas — a distância entre os centros é a soma dos raios.
Passo 3
Agora relacionamos
e
usando que as esferas externas, em posição crítica, tocam-se entre si ao longo das arestas do octaedro. Pegue duas faces adjacentes do cubo, por exemplo os centros
e
. A distância entre esses dois centros (aresta do octaedro) é
Se as esferas externas se tangenciam ao longo dessa aresta, a distância entre os centros delas é igual a
. Logo, no caso crítico:
Passo 4
Resolva a equação anterior para
. Temos
Agora volte à relação entre
,
e
dada no Passo 2, que era
. Substituindo
obtemos
Passo 5
Isolando
da equação anterior:
Dividindo ambos os lados por
obtemos a relação pedida entre os raios:
Passo 6
Interpretação final e valor numérico: a expressão
é o valor mínimo do quociente
para que um íon pequeno possa encaixar tocando seis íons grandes dispostos em configuração octaédrica. Numericamente,