Estabeleça os ailnites de controle para monitorar a média amostral.
Suponha que o diâmetro X, de um parafuso, é monitorado através de um gráfico de controle, tomando a cada intervalo de tempo h, uma amostra de tamanho 4. Suponha que \mathrm{X} \sim \mathrm{N}\left(100,4^{2}\right) Assuma \mathrm{L}=3, o fator de largura do intervalo do gráfico de controle. Estabeleça os limites de controle para monitorar a média amostral.

Passo 1

O enunciado pede que estabeleçamos os limites de controle para monitorar a média amostral. As informações dadas são:
  • O diâmetro X de um parafuso segue a distribuição normal \mathrm{X}\sim\mathrm{N}\bigl(100,4^{2}\bigr). Ou seja, a média populacional é \mu=100 e o desvio padrão populacional é \sigma=4.
  • A cada intervalo de tempo é coletada uma amostra de tamanho n=4.
  • O fator de largura do intervalo do gráfico (número de desvios-padrão da média amostral) é L=3.
O que precisamos fornecer: os limites de controle (linha central, limite superior e limite inferior) do gráfico de controle da média amostral.

Passo 2

Conceito e fórmula que usaremos (explicação didática):
  • Quando a variável original X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, a média amostral \overline{X} de amostras de tamanho n também é normal:
\overline{X}\sim\mathrm{N}\!\left(\mu,\;\frac{\sigma^{2}}{n}\right).
Isto significa que o desvio padrão da média amostral (chamado erro padrão) é
\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  • Em um gráfico de controle \overline{X} com fator L as fórmulas dos limites são:
\mathrm{CL}=\mu,
\mathrm{UCL}=\mu+L\cdot\sigma_{\overline{X}},
\mathrm{LCL}=\mu-L\cdot\sigma_{\overline{X}}.
Aqui: \mathrm{CL} é a linha central (valor esperado da média amostral), \mathrm{UCL} é o limite superior de controle e \mathrm{LCL} é o limite inferior de controle. Tudo faz sentido: com L desvios-padrão para cima/baixo cobrimos a região onde a média amostral deve ficar quando o processo está sob controle.

Passo 3

Calcule o erro padrão da média amostral e explique cada passo:
  • Dado \sigma=4 e n=4.
  • O erro padrão é
\sigma_{\overline{X}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{4}{\sqrt{4}}.
  • Como \sqrt{4}=2, obtemos
\sigma_{\overline{X}}=\frac{4}{2}=2.
Interpretação: em média a média das amostras varia em torno de \mu com desvio 2.

Passo 4

Use o valor de L=3 para calcular os limites numéricos:
  • Linha central:
\mathrm{CL}=\mu=100.
  • Limite superior:
\mathrm{UCL}=\mu+L\cdot\sigma_{\overline{X}}=100+3\cdot 2=100+6=106.
  • Limite inferior:
\mathrm{LCL}=\mu-L\cdot\sigma_{\overline{X}}=100-3\cdot 2=100-6=94.

Passo 5

Comentário prático e interpretação rápida (para a prova):
  • Assim, se uma média amostral \overline{x} calculada a cada intervalo cair fora do intervalo [94,106], isso indica evidência de que o processo pode estar fora de controle (com probabilidade muito pequena de ocorrer quando o processo está de fato centrado em \mu=100).
  • Como curiosidade útil para prova: com L=3 a probabilidade de uma média amostral de um processo em controle ultrapassar os limites é aproximadamente 2\,(1-\Phi(3))\approx 0,0027 (ou 0{,}27\%), onde \Phi é a função distribuição normal padrão — é por isso que se usa L=3: para ter baixa taxa de falso alarme.

Resposta

\mathrm{CL}=100
\mathrm{UCL}=106
\mathrm{LCL}=94

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