Responda:
Suponha que o diâmetro X de um parafuso é monitorado através de um gráfico de controle, tomando a cada intervalo de tempo h, uma amostra de tamanho 4. Suponha que X segue \mathrm{N}\left(100,4^{2}\right) Assuma \mathrm{L}=3 o fator de largura do intervalo do gráfico de controle. Estabeleça os limites de controle para monitorar a média amostral. A faixa de especificação é (100+/-10).
\bigcirc \mathrm{LSC}=106 \mathrm{LIC}=94
\bigcirc \mathrm{LSC}=106 \mathrm{LIC}=84
\bigcirc \mathrm{LSC}=112 \mathrm{LIC}=88
\bigcirc \mathrm{LSC}=100 \mathrm{LIC}=90
\bigcirc \mathrm{LSC}=110 \mathrm{LIC}=90

Passo 1

O enunciado pede para estabelecer os limites de controle para monitorar a média amostral. Dados fornecidos:
  • A variável diâmetro X segue \mathrm{N}\left(100,4^{2}\right). Então \mu=100 e \sigma=4.
  • Amostras de tamanho n=4 são coletadas a cada intervalo.
  • Fator de largura do intervalo (normalmente chamado de L) é L=3.
  • Faixa de especificação do produto é (100\pm10) (ou seja, especificação superior 110 e inferior 90).
    O que se quer: calcular os limites de controle para a média amostral (o gráfico \bar{X}) e depois comparar com as alternativas dadas.

Passo 2

Fórmula e por que ela é assim — aula rápida e prática:
  • Quando tiramos uma amostra de tamanho n de uma população normal com média \mu e desvio padrão \sigma, a média amostral \bar{X} tem média \mu_{\bar{X}}=\mu e variância \operatorname{Var}(\bar{X})=\dfrac{\sigma^{2}}{n}. Isso vem da propriedade da média de variáveis independentes: variâncias somam e dividimos por n^{2}, portanto \sigma^{2}/n.
  • O desvio padrão da média amostral (erro padrão) é
\text{SE}(\bar{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  • Para um gráfico de médias ( \bar{X}-chart) com fator L (normalmente L=3), os limites de controle são:
\bar{X}\text{-limits: }\;\mu \pm L\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Explicando as variáveis: \mu é a média do processo (aqui 100), \sigma é o desvio padrão do processo (aqui 4), n é o tamanho da amostra (aqui 4) e L é o número de desvios-padrão usados para os limites (aqui 3). O motivo prático: aproximadamente 99{,}73\% das médias amostrais estarão dentro de \mu\pm3\cdot\text{SE} se o processo está sob controle.

Passo 3

Cálculo numérico passo a passo:
  • Primeiro o erro padrão:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{4}{\sqrt{4}}=\frac{4}{2}=2.
  • Multiplicando pelo fator L=3:
L\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=3\cdot 2=6.
  • Agora os limites de controle:
\mu \pm 6 = 100 \pm 6.
Portanto,
\text{LSC} = 100 + 6 = 106,
\text{LIC} = 100 - 6 = 94.

Passo 4

Relação com a faixa de especificação e interpretação:
  • Faixa de especificação dada: 100\pm10. Em notação,
\text{USL}=110,\qquad \text{LSL}=90.
  • Comparando: os limites de controle ( 94 a 106) estão contidos dentro da faixa de especificação ( 90 a 110). Observação importante (didática): limites de controle servem para monitorar a estabilidade estatística do processo (se houver causas especiais de variação), já especificações servem para aceitar ou rejeitar peças quanto à funcionalidade/cliente. É possível estar estatisticamente sob controle e ainda produzir peças fora de especificação se a média do processo estiver deslocada — aqui, porém, ambos estão centrados em 100 e os limites de controle estão bem dentro da especificação.

Passo 5

Verificação com as alternativas fornecidas: os limites calculados são \text{LSC}=106 e \text{LIC}=94. Entre as alternativas dadas há exatamente uma que apresenta esses valores (a que mostra \mathrm{LSC}=106 e \mathrm{LIC}=94).

Resposta

\mathrm{LSC}=106\ \mathrm{LIC}=94

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