Estabeleça a condição que deve ser satisfeita a e b para que o sistema seja compatível.
\begin{aligned} x-2 y-z & =2 \\\\ 2 x+y+3 z & =b \\\\ 4 x-3 y+z & =a \end{aligned}

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com incógnitas x,y,z:
\begin{aligned} x-2y-z &= 2,\\[4pt] 2x+y+3z &= b,\\[4pt] 4x-3y+z &= a. \end{aligned}
O que se pede: estabelecer a condição que a e b devem satisfazer para que o sistema seja compatível (ou seja, tenha pelo menos uma solução).]

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): para um sistema linear como esse, formam-se a matriz dos coeficientes A e o vetor de termos independentes (vetor coluna) \mathbf{b}_{\text{vet}}:
A=\begin{pmatrix}1 & -2 & -1\\[4pt] 2 & 1 & 3\\[4pt] 4 & -3 & 1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}_{\text{vet}}=\begin{pmatrix}2\\[4pt] b\\[4pt] a\end{pmatrix}.
Regra de compatibilidade (conceito): o sistema é compatível se, e somente se, o posto (rank) da matriz de coeficientes A for igual ao posto da matriz aumentada (A\,|\,\mathbf{b}_{\text{vet}}). Se \det(A)\neq0 então A tem posto 3 e o sistema é compatível para quaisquer a,b (tem solução única). Se \det(A)=0 então o posto de A é menor que 3 e é preciso verificar se \mathbf{b}_{\text{vet}} satisfaz as mesmas relações lineares entre as linhas (ou colunas) de A.]

Passo 3

Vamos calcular o determinante de A para saber se é singular ou não. Calculando \det(A):
\det(A)= \begin{vmatrix} 1 & -2 & -1\\[4pt] 2 & 1 & 3\\[4pt] 4 & -3 & 1 \end{vmatrix}.
Expansão pela primeira linha:
\det(A)=1\cdot\begin{vmatrix}1 & 3\\[4pt]-3 & 1\end{vmatrix} -(-2)\cdot\begin{vmatrix}2 & 3\\[4pt]4 & 1\end{vmatrix} +(-1)\cdot\begin{vmatrix}2 & 1\\[4pt]4 & -3\end{vmatrix}.
Calcule cada menor:
\begin{vmatrix}1 & 3\\[4pt]-3 & 1\end{vmatrix}=1\cdot1-3\cdot(-3)=1+9=10,
\begin{vmatrix}2 & 3\\[4pt]4 & 1\end{vmatrix}=2\cdot1-3\cdot4=2-12=-10,
\begin{vmatrix}2 & 1\\[4pt]4 & -3\end{vmatrix}=2\cdot(-3)-1\cdot4=-6-4=-10.
Portanto
\det(A)=1\cdot10 -(-2)\cdot(-10) +(-1)\cdot(-10)=10 -20 +10 =0.
Como \det(A)=0, a matriz A é singular e tem posto menor que 3. Então precisamos comparar relações lineares entre as linhas de A com as componentes do vetor de termos independentes.]

Passo 4

Procure uma relação linear entre as linhas (explicação didática sobre o que isso significa): se houver coeficientes \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 não todos zero tais que
\lambda_1\\ (\text{linha }1)+\lambda_2\\ (\text{linha }2)+\lambda_3\\ (\text{linha }3)=\mathbf{0},
então as mesmas combinações aplicadas aos termos independentes devem dar zero para o sistema ser compatível.
Observando as linhas de A:
\text{linha }1=(1,\,-2,\,-1),\quad \text{linha }2=(2,\,1,\,3),\quad \text{linha }3=(4,\,-3,\,1).
Vamos testar combinações simples: calcule \text{linha }3 - 2\cdot\text{linha }1:
\text{linha }3 - 2\cdot\text{linha }1 =(4,\,-3,\,1)-2(1,\,-2,\,-1)=(4,\,-3,\,1)-(2,\,-4,\,-2)=(2,\,1,\,3),
que coincide exatamente com \text{linha }2. Logo existe a relação linear
\text{linha }3 - \text{linha }2 - 2\cdot\text{linha }1=\mathbf{0}.
Isto mostra que o posto de A é 2 (duas linhas independentes).

Passo 5

Aplicar a mesma relação aos termos independentes (regra da compatibilidade): a combinação
(\text{equação }3) - (\text{equação }2) - 2\cdot(\text{equação }1)çãçãçã
deve resultar em 0=0 para que o vetor \mathbf{b}_{\text{vet}} esteja no mesmo subespaço gerado pelas linhas de A. Aplicando aos termos independentes:
a - b - 2\cdot 2 = 0.
Isto dá a condição
a - b - 4 = 0,
ou seja
a = b + 4.

Passo 6

Interpretação final (didática e prática): se \,a=b+4 então o vetor de termos independentes satisfaz a mesma dependência linear que as linhas de A, logo o posto da matriz aumentada é igual ao posto de A (ambos iguais a 2) e o sistema é compatível — neste caso o sistema tem infinitas soluções (uma família de soluções com um parâmetro livre). Se \,a\neq b+4 então ao aplicar a combinação acima nos termos independentes obtém-se um número diferente de zero, o que significa posto da matriz aumentada é 3 enquanto o posto de A é 2, então o sistema é incompatível (sem solução).

Passo 7

(Complemento prático — como resolver quando a condição é satisfeita) — supondo a=b+4, podemos reduzir o sistema a duas equações independentes (por exemplo as duas primeiras) e expressar as soluções em função de um parâmetro. Usando as equações (1) e (2):
x-2y-z=2, \qquad 2x+y+3z=b.
Da primeira, x=2+2y+z. Substituindo na segunda:
2(2+2y+z)+y+3z=b \quad\Rightarrow\quad 4+5y+5z=b,
ou
y+z=\frac{b-4}{5}.
Tomando z=t parâmetro livre, obtemos
y=\frac{b-4}{5}-t,\qquad x=\frac{2+2b}{5}-t,
com t\in\mathbb{R}. Essas são todas as soluções quando a=b+4.

Resposta

a=b+4

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