Calcule a inversa da matriz usando operações elementares.
A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 3 & 0 \\\\ 0 & 4 & 1 \end{array}\right] .

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado.
  • Pede-se calcular a inversa da matriz A.
  • A matriz fornecida é
A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 0\\[4pt] 0 & 4 & 1 \end{bmatrix}.
  • Objetivo final: encontrar uma matriz A^{-1} tal que \,A A^{-1}=I_3\,.]

Passo 2

Estratégia geral e definição das operações elementares (explicação didática curta).
  • Vamos usar o método das operações elementares (eliminação de Gauss–Jordan): montar a matriz aumentada \,[A\mid I_3] e aplicar operações de linha até transformar o lado esquerdo em I_3. O lado direito se tornará então A^{-1}.
  • Tipos de operação de linha permitidos:
    1. trocar duas linhas: R_i\leftrightarrow R_j,
    2. multiplicar uma linha por escalar não nulo: R_i\leftarrow \lambda R_i com \lambda\neq0,
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra: R_i\leftarrow R_i + \mu R_j.
  • Montamos a matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 3

Trabalhando a primeira coluna (pivot na posição (1,1)).
  • O pivô em (1,1) é \,1. Isso é ótimo porque já está normalizado ( 1), então não precisamos escalonar R_1.
  • Precisamos eliminar entradas abaixo do pivô na coluna 1. As entradas em (2,1) e (3,1) são ambas 0, portanto nada a fazer aqui.
  • A matriz permanece:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Trabalhando a segunda coluna (pivot em (2,2)): normalizar o pivô.
  • O pivô em (2,2) é \,3. Para facilitar eliminações, transformamos esse pivô em 1 dividindo a linha 2 por 3.
  • Operação: R_2\leftarrow \dfrac{1}{3}R_2.
  • Calculando cada entrada de R_2:
    • Lado esquerdo: [0,\;3,\;0] passa a [0,\;1,\;0].
    • Lado direito: [0,\;1,\;0] passa a [0,\;1/3,\;0].
  • Matriz resultante:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{3} & 0\\[4pt] 0 & 4 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Eliminar os outros elementos da coluna 2 usando o pivô normalizado.
  • Queremos zeros em todas as posições da coluna 2, exceto o pivô em (2,2).
  • Eliminar na linha 1: usar R_1\leftarrow R_1 - 2R_2.
    • Calculando: lado esquerdo [1,2,0] - 2[0,1,0] = [1,0,0].
    • Lado direito [1,0,0] - 2[0,\tfrac{1}{3},0] = [1,\;0 - \tfrac{2}{3},\;0] = [1,\;-\tfrac{2}{3},\;0].
  • Eliminar na linha 3: usar R_3\leftarrow R_3 - 4R_2.
    • Calculando: lado esquerdo [0,4,1] - 4[0,1,0] = [0,0,1].
    • Lado direito [0,0,1] - 4[0,\tfrac{1}{3},0] = [0,\;0 - \tfrac{4}{3},\;1] = [0,\;-\tfrac{4}{3},\;1].
  • Matriz após essas operações:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & -\tfrac{2}{3} & 0\\[6pt] 0 & 1 & 0 & 0 & \tfrac{1}{3} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 0 & -\tfrac{4}{3} & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Trabalhando a terceira coluna (pivot em (3,3)) e conclusão.
  • O pivô em (3,3) é \,1, já normalizado.
  • Precisamos verificar se há entradas fora da diagonal na coluna 3 para eliminar. As entradas em (1,3) e (2,3) são ambas 0, então não é preciso nenhuma operação.
  • O lado esquerdo já é a matriz identidade I_3. Portanto o lado direito é A^{-1}.
  • Lado direito final:
A^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & -\tfrac{2}{3} & 0\\[6pt] 0 & \tfrac{1}{3} & 0\\[6pt] 0 & -\tfrac{4}{3} & 1 \end{bmatrix}.]

Passo 7

Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança).
  • Multiplicar A por A^{-1} para checar se dá I_3.
  • Produto:
    • Primeira linha: [1,2,0]\begin{bmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{bmatrix}=1, e [1,2,0]\begin{bmatrix}-\tfrac{2}{3}\\[2pt]\tfrac{1}{3}\\[2pt]-\tfrac{4}{3}\end{bmatrix}= -\tfrac{2}{3}+ \tfrac{2}{3}=0, etc. Fazendo as três linhas obtém-se I_3.
  • A verificação confirma que a inversa está correta.]

Resposta

A^{-1}=\begin{bmatrix} 1 & -\tfrac{2}{3} & 0\\[6pt] 0 & \tfrac{1}{3} & 0\\[6pt] 0 & -\tfrac{4}{3} & 1 \end{bmatrix}]

Exercícios relacionados