Objetivo final: encontrar uma matriz A^{-1} tal que \,A A^{-1}=I_3\,.]
Passo 2
Estratégia geral e definição das operações elementares (explicação didática curta).
Vamos usar o método das operações elementares (eliminação de Gauss–Jordan): montar a matriz aumentada \,[A\mid I_3] e aplicar operações de linha até transformar o lado esquerdo em I_3. O lado direito se tornará então A^{-1}.
Tipos de operação de linha permitidos:
trocar duas linhas: R_i\leftrightarrow R_j,
multiplicar uma linha por escalar não nulo: R_i\leftarrow \lambda R_i com \lambda\neq0,
somar a uma linha um múltiplo de outra: R_i\leftarrow R_i + \mu R_j.
Trabalhando a terceira coluna (pivot em (3,3)) e conclusão.
O pivô em (3,3) é \,1, já normalizado.
Precisamos verificar se há entradas fora da diagonal na coluna 3 para eliminar. As entradas em (1,3) e (2,3) são ambas 0, então não é preciso nenhuma operação.
O lado esquerdo já é a matriz identidade I_3. Portanto o lado direito é A^{-1}.
Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança).
Multiplicar A por A^{-1} para checar se dá I_3.
Produto:
Primeira linha: [1,2,0]\begin{bmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{bmatrix}=1, e [1,2,0]\begin{bmatrix}-\tfrac{2}{3}\\[2pt]\tfrac{1}{3}\\[2pt]-\tfrac{4}{3}\end{bmatrix}= -\tfrac{2}{3}+ \tfrac{2}{3}=0, etc. Fazendo as três linhas obtém-se I_3.
A verificação confirma que a inversa está correta.]