Sejam A=\left[\begin{array}{lll}1 & 3 & 5 \\\\ 2 & 4 & 6\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc}4 & 0 \\\\ -2 & 2 \\\\ 1 & 3\end{array}\right]
Calcule B^{T} \cdot A^{T}

Passo 1

O enunciado fornece as matrizes
A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 3 & 5 \\[4pt] 2 & 4 & 6\end{array}\right],\qquad B=\left[\begin{array}{cc}4 & 0 \\[4pt] -2 & 2 \\[4pt] 1 & 3\end{array}\right]
e pede que se calcule o produto B^{T}\cdot A^{T}.]

Passo 2

Primeiro vamos calcular as transpostas. Lembre que a transposta de uma matriz troca linhas por colunas: o elemento da linha i, coluna j vira o elemento da linha j, coluna i.
Transposta de A:
A^{T}=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\[4pt] 3 & 4 \\[4pt] 5 & 6 \end{array}\right]
Transposta de B:
B^{T}=\left[\begin{array}{ccc} 4 & -2 & 1 \\[4pt] 0 & 2 & 3 \end{array}\right]]

Passo 3

Verificação de dimensões e possibilidade de multiplicação: B^{T} tem dimensão 2\times3 e A^{T} tem dimensão 3\times2. O produto B^{T}\cdot A^{T} é bem definido e terá dimensão 2\times2. Para calcular cada entrada do produto usamos produto interno (produto escalar) entre a linha correspondente de B^{T} e a coluna correspondente de A^{T}.

Passo 4

Cálculo da entrada (1,1) do produto:
linha 1 de B^{T} é \bigl[4,\,-2,\,1\bigr],
coluna 1 de A^{T} é \bigl[1,\,3,\,5\bigr]^{T}.
(B^{T}A^{T})_{11}=4\cdot1+(-2)\cdot3+1\cdot5=4-6+5=3.

Passo 5

Cálculo da entrada (1,2):
coluna 2 de A^{T} é \bigl[2,\,4,\,6\bigr]^{T}.
(B^{T}A^{T})_{12}=4\cdot2+(-2)\cdot4+1\cdot6=8-8+6=6.

Passo 6

Cálculo da entrada (2,1):
linha 2 de B^{T} é \bigl[0,\,2,\,3\bigr].
(B^{T}A^{T})_{21}=0\cdot1+2\cdot3+3\cdot5=0+6+15=21.

Passo 7

Cálculo da entrada (2,2):
(B^{T}A^{T})_{22}=0\cdot2+2\cdot4+3\cdot6=0+8+18=26.

Passo 8

Checagem rápida (opcional): pelo fato de (AB)^{T}=B^{T}A^{T} poderia-se também calcular AB e transpor; ambos os procedimentos dão o mesmo resultado para as entradas que encontramos acima.

Resposta

\left[\begin{array}{cc} 3 & 6 \\[4pt] 21 & 26 \end{array}\right]]

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