Estabeleça a equação geral do plano que contém as retas r:\left\{\begin{array}{l}\frac{x-1}{3}=\frac{z-1}{5} \\\ y=-1\end{array}\right. e s:\left\{\begin{array}{l}x=2 y+5 \\\ z=-2 y-1\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede: estabeleça a equação geral do plano que contém as retas r e s.
Dados do enunciado:
r:\begin{cases} \frac{x-1}{3}=\frac{z-1}{5},\\[4pt] y=-1, \end{cases} \qquad s:\begin{cases} x=2y+5,\\[4pt] z=-2y-1. \end{cases}
Ou seja, temos duas retas no espaço e precisamos verificar se existe um plano que as contenha e, se existir, escrever a equação geral desse plano.]

Passo 2

Vamos escrever cada reta em forma paramétrica (vetorial), que é a forma mais prática para extrair um ponto e um vetor-direção de cada reta.
Para r, igualamos a razão comum a um parâmetro t:
\frac{x-1}{3}=\frac{z-1}{5}=t.
Daí
x=1+3t,\qquad z=1+5t,\qquad y=-1.
Em forma vetorial:
r:\\ \mathbf{r}(t)=(1,-1,1)+t(3,0,5).
Portanto um ponto de r é A=(1,-1,1) (obtido para t=0) e o vetor-direção de r é \mathbf{v}_r=(3,0,5).
Para s, podemos tomar y como parâmetro u:
x=2u+5,\qquad y=u,\qquad z=-2u-1.
Em forma vetorial:
s:\\ \mathbf{s}(u)=(5,0,-1)+u(2,1,-2).
Assim um ponto de s é B=(5,0,-1) (para u=0) e o vetor-direção de s é \mathbf{v}_s=(2,1,-2).

Passo 3

Teoria rápida (didática): Um plano pode ser determinado por um ponto P_0 e um vetor normal \mathbf{n}. Se tivermos duas retas contidas no plano com vetores-direção \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2 não paralelos, então um normal ao plano pode ser obtido pelo produto vetorial
\mathbf{n}=\mathbf{v}_1\times\mathbf{v}_2.
Porém, antes disso é obrigatório checar se as duas retas são coplanares. Uma forma simples de testar coplanaridade é calcular o produto escalar triplo
(\mathbf{v}_r\times\mathbf{v}_s)\cdot\overrightarrow{AB},
onde \overrightarrow{AB}=B-A. Se esse produto for zero, então \mathbf{v}_r,\mathbf{v}_s,\overrightarrow{AB} são coplanares e existe um plano contendo as duas retas; se for diferente de zero, as retas são reversas (skew) e não existe plano que as contenha simultaneamente.

Passo 4

Calculemos o produto vetorial \mathbf{n}=\mathbf{v}_r\times\mathbf{v}_s.
Temos \mathbf{v}_r=(3,0,5) e \mathbf{v}_s=(2,1,-2). Usando a fórmula componente a componente:
\mathbf{n}=(0\cdot(-2)-5\cdot1,\;5\cdot2-3\cdot(-2),\;3\cdot1-0\cdot2).
Logo
\mathbf{n}=(-5,\;16,\;3).

Passo 5

Calculemos \overrightarrow{AB}=B-A:
\overrightarrow{AB}=(5,0,-1)-(1,-1,1)=(4,1,-2).
Agora o produto escalar triplo:
(\mathbf{v}_r\times\mathbf{v}_s)\cdot\overrightarrow{AB}=\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{AB}=(-5,16,3)\cdot(4,1,-2).
Calculando:
\mathbf{n}\cdot\overrightarrow{AB}=-5\cdot4+16\cdot1+3\cdot(-2)=-20+16-6=-10.
Como o resultado é -10\neq0, concluímos que \mathbf{v}_r,\mathbf{v}_s e \overrightarrow{AB} não são coplanares. Em palavras: as retas r e s são retas reversas (skew), ou seja, não se intersectam e não são paralelas — portanto não existe um único plano que as contenha simultaneamente.

Passo 6

Conclusão didática e incentivo: isso significa que não há como escrever a equação de um plano que contenha ambas as retas porque geometricamente não existe tal plano. É uma situação comum em espaço 3D — duas retas em posições gerais são, na maioria das vezes, skew. Você fez certo em pedir para checar coplanaridade antes de tentar construir o plano; essa verificação com o produto escalar triplo é a ferramenta padrão e rápida para a prova. Força aí — já dominou a técnica!

Resposta

Não existe plano que contenha simultaneamente as retas r e s (as retas são reversas; o teste de coplanaridade dá (\mathbf{v}_r\times\mathbf{v}_s)\cdot\overrightarrow{AB}=-10\neq0).

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