Obtenha a equação simétrica da reta que passa pelo ponto de interseção da reta t:\left\{\begin{array}{l}y=2 x+1 \\\ z=x-3\end{array}\right. com o plano \pi: 2 x+2 y-3 z+4=0 e que é simultaneamente ortogonal às retas r:\left\{\begin{array}{l}x=-z+4 \\\ y=3 z-6\end{array}\right. e s:\left\{\begin{array}{l}x=4 \\\ z=2 y+1\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado pede a equação simétrica da reta que satisfaz duas condições: (1) passa pelo ponto de interseção da reta t\) com o plano \(\pi\); (2) é ortogonal simultaneamente às retas \(r\) e \(s\).\n Dados fornecidos: \[t:\begin{cases} y=2x+1\\[4pt] z=x-3 \end{cases} \qquad \pi:2x+2y-3z+4=0
r:\begin{cases} x=-z+4\\[4pt] y=3z-6 \end{cases} \qquad s:\begin{cases} x=4\\[4pt] z=2y+1 \end{cases}
Objetivo final: obter a equação simétrica da reta procurada (forma \dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}\], quando aplicável), onde \((x_0,y_0,z_0) é um ponto da reta e (a,b,c) é um vetor diretor.]

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê?\n
Queremos uma reta que seja ortogonal a duas retas dadas. Um vetor diretor de uma reta que seja perpendicular a duas retas deve ser perpendicular aos vetores diretores dessas duas retas. O produto vetorial (cross product) de dois vetores dá exatamente um vetor perpendicular a ambos. Por isso a escolha natural e eficiente aqui é:
  1. obter os vetores diretores de r e s;
  2. calcular o produto vetorial desses vetores para obter o vetor diretor da reta procurada;
  3. achar o ponto de passagem (interseção de t com \pi);
  4. montar a equação simétrica usando esse ponto e o vetor diretor.
    Vou seguir esse caminho pois é direto e computacionalmente simples numa prova (evita montar e resolver sistemas de equações para os componentes do vetor).

Passo 3

Parametrizar r e s para extrair seus vetores diretores.\n
Para r podemos usar o parâmetro \lambda igual a z. Assim:
x=-\lambda+4,\qquad y=3\lambda-6,\qquad z=\lambda.
Derivando em relação a \lambda (ou simplesmente observando as variações), o vetor diretor de r é
\mathbf{v}_r = (-1,\,3,\,1).
Para s podemos usar o parâmetro \mu igual a y. Assim:
x=4,\qquad y=\mu,\qquad z=2\mu+1.
Logo o vetor diretor de s é
\mathbf{v}_s = (0,\,1,\,2).

Passo 4

Calcular o produto vetorial \mathbf{d}=\mathbf{v}_r\times\mathbf{v}_s (vetor diretor da reta buscada).\n
Recordando o produto vetorial: para \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3),
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\big(a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1\big).
Aplicando com \mathbf{v}_r=(-1,3,1) e \mathbf{v}_s=(0,1,2):
\begin{aligned} d_1 &= 3\cdot 2 - 1\cdot 1 = 6-1 = 5,\\[4pt] d_2 &= 1\cdot 0 - (-1)\cdot 2 = 0 - (-2) = 2,\\[4pt] d_3 &= (-1)\cdot 1 - 3\cdot 0 = -1 - 0 = -1. \end{aligned}
Portanto o vetor diretor da reta procurada é
\mathbf{d}=(5,\,2,\,-1).]

Passo 5

Parametrizar a reta t e achar seu ponto de interseção com o plano \pi.\n
Use parâmetro x=\lambda para t. Então
y=2\lambda+1,\qquad z=\lambda-3.
Substituímos em \pi:2x+2y-3z+4=0:
2\lambda + 2(2\lambda+1) -3(\lambda-3) +4 = 0.
Calcule passo a passo:
2\lambda +4\lambda +2 -3\lambda +9 +4 = 0,
(2\lambda+4\lambda-3\lambda) + (2+9+4) = 0,
3\lambda +15 = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda = -5.
Com \lambda=-5 obtemos o ponto de interseção
P=(x,y,z)=(-5,\,-9,\,-8).
(Resumo: substituí os valores de x,y,z da reta t na equação do plano e resolvi para o parâmetro.)

Passo 6

Construir a equação paramétrica da reta procurada e traduzir para a forma simétrica.\n
A reta desejada passa por P=(-5,-9,-8)\) e tem vetor diretor \(\mathbf{d}=(5,2,-1)\). A equação paramétrica é \[\begin{cases} x = -5 + 5t,\\[4pt] y = -9 + 2t,\\[4pt] z = -8 - t, \end{cases}
onde (t] é parâmetro.
A forma simétrica, desde que cada componente de \mathbf{d} seja diferente de zero, é
\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c},
portanto aqui:
\frac{x+5}{5} = \frac{y+9}{2} = \frac{z+8}{-1}.]

Passo 7

Pequena verificação de coerência (opcional, mas ajuda na prova).\n
Verifico que \mathbf{d} é ortogonal a \mathbf{v}_r e \mathbf{v}_s calculando produtos internos:
\mathbf{d}\cdot\mathbf{v}_r = (5,2,-1)\cdot(-1,3,1) = 5(-1)+2\cdot 3 + (-1)\cdot 1 = -5+6-1=0,
\mathbf{d}\cdot\mathbf{v}_s = (5,2,-1)\cdot(0,1,2) = 5\cdot 0 +2\cdot 1 +(-1)\cdot 2 = 0+2-2=0.
Ambos nulos, logo \mathbf{d} é perpendicular a \mathbf{v}_r e \mathbf{v}_s, como exigido.

Resposta

\displaystyle \frac{x+5}{5}=\frac{y+9}{2}=\frac{z+8}{-1}

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