Obtenha a equação simétrica da reta que passa pelo ponto de interseção da reta
com o plano
e que é simultaneamente ortogonal às retas
e
.
Passo 1
O enunciado pede a equação simétrica da reta que satisfaz duas condições: (1) passa pelo ponto de interseção da reta
Objetivo final: obter a equação simétrica da reta procurada (forma
é um ponto da reta e
é um vetor diretor.]
Passo 2
Qual método vamos usar e por quê?\n
Queremos uma reta que seja ortogonal a duas retas dadas. Um vetor diretor de uma reta que seja perpendicular a duas retas deve ser perpendicular aos vetores diretores dessas duas retas. O produto vetorial (cross product) de dois vetores dá exatamente um vetor perpendicular a ambos. Por isso a escolha natural e eficiente aqui é:
Queremos uma reta que seja ortogonal a duas retas dadas. Um vetor diretor de uma reta que seja perpendicular a duas retas deve ser perpendicular aos vetores diretores dessas duas retas. O produto vetorial (cross product) de dois vetores dá exatamente um vetor perpendicular a ambos. Por isso a escolha natural e eficiente aqui é:
- obter os vetores diretores de
e ; - calcular o produto vetorial desses vetores para obter o vetor diretor da reta procurada;
- achar o ponto de passagem (interseção de
com ); - montar a equação simétrica usando esse ponto e o vetor diretor.
Vou seguir esse caminho pois é direto e computacionalmente simples numa prova (evita montar e resolver sistemas de equações para os componentes do vetor).
Passo 3
Parametrizar
e
para extrair seus vetores diretores.\n
Para podemos usar o parâmetro
igual a
. Assim:
Para
Derivando em relação a
(ou simplesmente observando as variações), o vetor diretor de
é
Para
podemos usar o parâmetro
igual a
. Assim:
Logo o vetor diretor de
é
Passo 4
Calcular o produto vetorial
(vetor diretor da reta buscada).\n
Recordando o produto vetorial: para e
,
Recordando o produto vetorial: para
Aplicando com
e
:
Portanto o vetor diretor da reta procurada é
Passo 5
Parametrizar a reta
e achar seu ponto de interseção com o plano
.\n
Use parâmetro para
. Então
Use parâmetro
Substituímos em
:
Calcule passo a passo:
Com
obtemos o ponto de interseção
(Resumo: substituí os valores de
da reta
na equação do plano e resolvi para o parâmetro.)
Passo 6
Construir a equação paramétrica da reta procurada e traduzir para a forma simétrica.\n
A reta desejada passa por
onde (t] é parâmetro.
A forma simétrica, desde que cada componente de
seja diferente de zero, é
portanto aqui:
Passo 7
Pequena verificação de coerência (opcional, mas ajuda na prova).\n
Verifico que é ortogonal a
e
calculando produtos internos:
Verifico que
Ambos nulos, logo
é perpendicular a
e
, como exigido.