Calcular as equações paramétricas de uma reta s que passa pelo ponto A(1,-1,1) e é ortogonal à reta r: \frac{x-2}{-2}=y=z
Passo 1
O enunciado pede: calcular as equações paramétricas da reta s que passa pelo ponto A(1,-1,1) e que é ortogonal à reta r dada por \dfrac{x-2}{-2}=y=z.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
O ponto por onde s passa é A com coordenadas (1,-1,1).
A reta r está dada na forma simétrica \dfrac{x-2}{-2}=y=z.
(Esta é a representação da reta r que relaciona as coordenadas x,y,z.)
A missão é obter as equações paramétricas de s.
Passo 2
Primeiro passo prático: parametrizar a reta r. Quando temos \dfrac{x-2}{-2}=y=z podemos tomar um parâmetro, digamos \tau, igual ao valor comum:
y=\tau,\qquad z=\tau.
A partir de \dfrac{x-2}{-2}=\tau obtemos
x-2=-2\tau \quad\Rightarrow\quad x=2-2\tau.
Portanto, uma parametrização de r é
r(\tau)=(x,y,z)=(2-2\tau,\;\tau,\;\tau).
Passo 3
Da parametrização acima identificamos duas informações úteis sobre r:
Um ponto que pertence a r é o ponto correspondente a \tau=0, ou seja P_0=(2,0,0).
O vetor diretor de r (obtido pelas derivadas em relação ao parâmetro ou pela diferença entre pontos para variações de \tau) é
\vec{v}_r = (-2,\,1,\,1).
Explicação curta do que significa vetor diretor: é um vetor que aponta na direção da reta; qualquer deslocamento ao longo de r é um múltiplo desse vetor.
Passo 4
Entendendo o requisito "reta s ortogonal à reta r" (didático): queremos a reta s que passa por A e que intersecta r formando ângulo reto. Em 3D, a reta perpendicular que sai de um ponto A até uma reta r é a reta que liga A ao ponto P\in r tal que o vetor \overrightarrow{AP} é perpendicular ao vetor diretor \vec{v}_r. A condição de perpendicularidade entre dois vetores \vec{u} e \vec{v} é dada pelo produto escalar:
\vec{u}\cdot\vec{v}=0.
Lembrete sobre produto escalar: se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Quando o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais.
Passo 5
Vamos aplicar isso: tome um ponto genérico P de r usando o parâmetro \tau:
P(\tau)=\bigl(2-2\tau,\;\tau,\;\tau\bigr).
O vetor \overrightarrow{AP} é P(\tau)-A. Calculamos coordenada a coordenada:
Podemos multiplicar esse vetor por 3 (isto não muda a direção) para trabalhar com números inteiros:
\vec{d}_s = 3\overrightarrow{AP}=(1,\,4,\,-2).
Explicação: o vetor diretor de s pode ser qualquer múltiplo de \overrightarrow{AP}; escolhemos (1,4,-2) por ser mais simples.
Passo 9
Finalmente, escrevemos as equações paramétricas da reta s. A reta s passa por A(1,-1,1) e tem vetor diretor \vec{d}_s=(1,4,-2). Usando um parâmetro, digamos \lambda, a forma paramétrica é: