Calcular as equações paramétricas de uma reta s que passa pelo ponto A(1,-1,1) e é ortogonal à reta r: \frac{x-2}{-2}=y=z

Passo 1

O enunciado pede: calcular as equações paramétricas da reta s que passa pelo ponto A(1,-1,1) e que é ortogonal à reta r dada por \dfrac{x-2}{-2}=y=z.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O ponto por onde s passa é A com coordenadas (1,-1,1).
  • A reta r está dada na forma simétrica \dfrac{x-2}{-2}=y=z.
    (Esta é a representação da reta r que relaciona as coordenadas x,y,z.)
  • A missão é obter as equações paramétricas de s.

Passo 2

Primeiro passo prático: parametrizar a reta r. Quando temos \dfrac{x-2}{-2}=y=z podemos tomar um parâmetro, digamos \tau, igual ao valor comum:
y=\tau,\qquad z=\tau.
A partir de \dfrac{x-2}{-2}=\tau obtemos
x-2=-2\tau \quad\Rightarrow\quad x=2-2\tau.
Portanto, uma parametrização de r é
r(\tau)=(x,y,z)=(2-2\tau,\;\tau,\;\tau).

Passo 3

Da parametrização acima identificamos duas informações úteis sobre r:
  • Um ponto que pertence a r é o ponto correspondente a \tau=0, ou seja P_0=(2,0,0).
  • O vetor diretor de r (obtido pelas derivadas em relação ao parâmetro ou pela diferença entre pontos para variações de \tau) é
\vec{v}_r = (-2,\,1,\,1).
Explicação curta do que significa vetor diretor: é um vetor que aponta na direção da reta; qualquer deslocamento ao longo de r é um múltiplo desse vetor.

Passo 4

Entendendo o requisito "reta s ortogonal à reta r" (didático): queremos a reta s que passa por A e que intersecta r formando ângulo reto. Em 3D, a reta perpendicular que sai de um ponto A até uma reta r é a reta que liga A ao ponto P\in r tal que o vetor \overrightarrow{AP} é perpendicular ao vetor diretor \vec{v}_r. A condição de perpendicularidade entre dois vetores \vec{u} e \vec{v} é dada pelo produto escalar:
\vec{u}\cdot\vec{v}=0.
Lembrete sobre produto escalar: se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3), então
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Quando o produto escalar é zero, os vetores são ortogonais.

Passo 5

Vamos aplicar isso: tome um ponto genérico P de r usando o parâmetro \tau:
P(\tau)=\bigl(2-2\tau,\;\tau,\;\tau\bigr).
O vetor \overrightarrow{AP} é P(\tau)-A. Calculamos coordenada a coordenada:
\overrightarrow{AP}=\bigl(2-2\tau-1,\;\tau-(-1),\;\tau-1\bigr)=\bigl(1-2\tau,\;\tau+1,\;\tau-1\bigr).

Passo 6

Agora imponha a condição de perpendicularidade entre \overrightarrow{AP} e \vec{v}_r=(-2,1,1) usando o produto escalar:
\overrightarrow{AP}\cdot\vec{v}_r=(1-2\tau)(-2)+(\tau+1)(1)+(\tau-1)(1)=0.
Vamos desenvolver essa expressão passo a passo:
(1-2\tau)(-2)=-2+4\tau,
(\tau+1)(1)=\tau+1,
(\tau-1)(1)=\tau-1.
Somando tudo:
-2+4\tau+\tau+1+\tau-1 = -2 +6\tau.
Portanto a equação do produto escalar é
-2+6\tau=0.
Resolvendo para \tau:
6\tau=2 \quad\Rightarrow\quad \tau=\dfrac{1}{3}.

Passo 7

Com \tau=\dfrac{1}{3} encontramos o ponto P\in r que é a projeção perpendicular de A sobre r. Calcule P:
P\Bigl(\tfrac{1}{3}\Bigr)=\Bigl(2-2\cdot\tfrac{1}{3},\;\tfrac{1}{3},\;\tfrac{1}{3}\Bigr)=\Bigl(\tfrac{4}{3},\;\tfrac{1}{3},\;\tfrac{1}{3}\Bigr).

Passo 8

Agora obtemos o vetor diretor da reta s como \overrightarrow{AP}=P-A. Calcule coordenadas:
\overrightarrow{AP}=\Bigl(\tfrac{4}{3}-1,\;\tfrac{1}{3}-(-1),\;\tfrac{1}{3}-1\Bigr)=\Bigl(\tfrac{1}{3},\;\tfrac{4}{3},\;-\tfrac{2}{3}\Bigr).
Podemos multiplicar esse vetor por 3 (isto não muda a direção) para trabalhar com números inteiros:
\vec{d}_s = 3\overrightarrow{AP}=(1,\,4,\,-2).
Explicação: o vetor diretor de s pode ser qualquer múltiplo de \overrightarrow{AP}; escolhemos (1,4,-2) por ser mais simples.

Passo 9

Finalmente, escrevemos as equações paramétricas da reta s. A reta s passa por A(1,-1,1) e tem vetor diretor \vec{d}_s=(1,4,-2). Usando um parâmetro, digamos \lambda, a forma paramétrica é:
x=1+1\lambda,\qquad y=-1+4\lambda,\qquad z=1-2\lambda.
Isto é, para cada valor de \lambda obtemos um ponto da reta s.

Resposta

x=1+\lambda
y=-1+4\lambda
z=1-2\lambda

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