Estabeleça a identidade dada abaixo.
Sugestão: comece pelo segundo membro.

Passo 1

O enunciado pede para provar a fórmula de adição do seno no caso complexo, ou seja, mostrar que sin(z1+z2)=sin z1,cos z2+cos z1,sin z2. Vamos usar a definição de seno e cosseno via exponencial de Euler.

Passo 2

Começamos pelo segundo membro e recordamos as definições de Euler:
sin w=e^i w-e^-i w2i,cos w=e^i w+e^-i w2

Passo 3

Substituímos essas expressões em sin z1cos z2+cos z1sin z2:
e^iz1-e^-iz12icdote^iz2+e^-iz22+e^iz1+e^-iz12cdote^iz2-e^-iz22i

Passo 4

Colocando tudo sobre o mesmo denominador 4i e agrupando, temos:
14il[(e^iz1-e^-iz1)(e^iz2+e^-iz2)+(e^iz1+e^-iz1)(e^iz2-e^-iz2)r]

Passo 5

Expandindo os produtos dentro dos colchetes e somando-os, obtemos
14il[2e^i(z1+z2)-2e^-i(z1+z2)r] = e^i(z1+z2)-e^-i(z1+z2)2i

Passo 6

Pela definição de sin via exponencial, isso é exatamente sin(z1+z2). Assim, chegamos à identidade desejada.

Resposta

sin(z1+z2)=sin z1,cos z2+cos z1,sin z2

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