Determine todos os intervalos onde cada função dada a seguir é crescente ou decrescente.
Passo 1
Aqui a missão é achar onde a função f(x) =
cresce ou decresce. Vamos usar cálculo de derivada e análise de sinal para resolver.
Passo 2
Começamos calculando a derivada de f. Derivada termo a termo: derivada de
é
, de
é
, de
é
e de 5 é 0. Assim,
Passo 3
Em seguida, fatoramos f’(x) pegando fator comum
:
Passo 4
Agora achamos as raízes de f’(x)=0. Temos duas fontes de zero:
-
⇒ (raiz dupla). -
⇒ usando fórmula de Bhaskara , logo e .
Passo 5
Por fim, montamos o quadro de sinais de f’(x). Como
para todo
, o sinal de f’ depende de
.
Para :
⇒ f’<0 ⇒ f decrescente.
Para :
⇒ f’>0 ⇒ f crescente.
Em : o sinal de
continua negativo ⇒ f’>0 ⇒ f crescente.
Para :
⇒ f’<0 ⇒ f decrescente.
Para
Para
Em
Para
Resposta
f é crescente no intervalo (-2,4) e decrescente em (-∞,-2) ∪ (4,∞).