Determine todos os intervalos onde cada função dada a seguir é crescente ou decrescente.
f(x)=-x^5+52 x^4+403 x^3+5

Passo 1

Aqui a missão é achar onde a função f(x) = -x^5 + tfrac52x^4 + tfrac403x^3 + 5 cresce ou decresce. Vamos usar cálculo de derivada e análise de sinal para resolver.

Passo 2

Começamos calculando a derivada de f. Derivada termo a termo: derivada de -x^5 é -5x^4, de tfrac52x^4 é 10x^3, de tfrac403x^3 é 40x^2 e de 5 é 0. Assim,
f'(x) = -5x^4 + 10x^3 + 40x^2

Passo 3

Em seguida, fatoramos f’(x) pegando fator comum 5x^2:
f'(x) = 5x^2l(-x^2 + 2x + 8r) = -5x^2(x^2 - 2x - 8)

Passo 4

Agora achamos as raízes de f’(x)=0. Temos duas fontes de zero:
  1. x^2=0 x=0 (raiz dupla).
  2. x^2 - 2x - 8=0 ⇒ usando fórmula de Bhaskara x=2pmraiz4+322=2pm62, logo x=-2 e x=4.

Passo 5

Por fim, montamos o quadro de sinais de f’(x). Como x^2>0 para todo xneq0, o sinal de f’ depende de -(x^2-2x-8).
Para x<-2: x^2-2x-8>0 ⇒ f’<0 ⇒ f decrescente.
Para -2: x^2-2x-8<0 ⇒ f’>0 ⇒ f crescente.
Em 0: o sinal de x^2-2x-8 continua negativo ⇒ f’>0 ⇒ f crescente.
Para x>4: x^2-2x-8>0 ⇒ f’<0 ⇒ f decrescente.

Resposta

f é crescente no intervalo (-2,4) e decrescente em (-∞,-2) ∪ (4,∞).

Exercícios relacionados