Estabeleça a seguinte regra: toda dizima periódica simples (“simples” quer dizer que o período começa logo após a vírgula) e com parte inteira igual a 0 (zero) é igual a uma fração ordinária, cujo numerador é igual a um período e cujo denominador é constituído de tantos 9 quantos são os algarismos do período.
Passo 1
O enunciado quer que a gente prove a seguinte regra para dízimas periódicas simples com parte inteira zero: se o período tem algarismos , então
pode ser escrito como fração cujo numerador é exatamente o inteiro formado por a1a2ldots an e cujo denominador é composto de n noves (ou seja, 10^n-1). Para isso, vamos usar a técnica de multiplicar por 10^n e subtrair.
Passo 2
Suponha
x = 0a1a2ldots an
Como o período tem n dígitos, multiplicamos ambos os lados por 10^n para “deslocar” a vírgula até o final do primeiro bloco repetido:
10^n x = a1a2ldots ana1a2ldots an
Passo 3
Para eliminar a parte periódica que continua aparecendo, subtraímos a equação original desta que acabamos de obter:
10^n x - x = l(a1a2ldots ana1ldots anr) - l(0a1ldots anr)
No lado direito, a parte decimal repetida desaparece, sobrando apenas o inteiro a1a2ldots an. Logo,
(10^n - 1)x = a1a2ldots an
Passo 4
Isolando x, temos
x = a1a2ldots an10^n - 1
Mas é fácil ver que
10^n - 1 = underbrace99ldots 9n dígitos í
Resposta
Qualquer dízima periódica simples com parte inteira zero e período a1a2ldots an satisfaz
0a1a2ldots an = a1a2ldots anunderbrace99ldots9n noves